“互斥事件”與“相互獨(dú)立事件”的概念辨析

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1、適合高中生閱讀“互斥事件”與“相互獨(dú)立事件”的概念辨析江少芳上海市上海大學(xué)附屬中學(xué)郵編（200444）電子郵箱：jiangshaofang@126.com聯(lián)系電話：13761087682通信地址：上海市寶山區(qū)上大路688號(hào)互斥事件和相互獨(dú)立事件是概率論中的兩個(gè)重要概念，但是很多同學(xué)在學(xué)習(xí)了這兩個(gè)概念之后產(chǎn)生了混淆，從而在解題時(shí)導(dǎo)致了一些不易察覺的錯(cuò)誤，那么互斥事件和相互獨(dú)立事件到底有什么聯(lián)系與區(qū)別？下面就來對(duì)這兩個(gè)概念做一個(gè)有效的辨析。一、概念辨析：（1）互斥事件：對(duì)于事件A、B，若不可能同時(shí)發(fā)生，則稱A、B為互斥事件。從集合的角度來認(rèn)識(shí)，滿足A?B??，進(jìn)一步的，當(dāng)A?B??時(shí)，事件A、B是

2、對(duì)立事件。因此有概率加法公式：P?A?B??P?A??P?B?，即P?AB??0，特別地，當(dāng)A、B對(duì)立，記B?A，有P?A??P?A?=1。（2）獨(dú)立事件：對(duì)于事件A、B，如果P?AB??P?A??P?B?，那么稱A、B是相互獨(dú)立事件。直觀解釋就是，事件A（或B）發(fā)生對(duì)事件B（或A）發(fā)生的概率沒有影響。上述定義中的公式即相互獨(dú)立事件的概率乘法公式?？梢宰C明，如果A與B相互獨(dú)立，則A與B、A與B、A與B也都相互獨(dú)立。二、實(shí)例辨析：判斷下列事件A、B是否是互斥事件？是否是相互獨(dú)立事件？（1）將一枚硬幣連拋兩次，事件A：“兩次出現(xiàn)正面”，事件B：“只有一次出現(xiàn)正面”；解析：顯然事件A、B不可能同時(shí)發(fā)

3、生，故為互斥事件，P?AB??0。11又?P?A??，P?B??,則P?AB??P?A??P?B?，因此A、B不是相互獨(dú)立事件。42（2）如圖所示，用A、B兩類不同的元件連接成系統(tǒng)S，當(dāng)元件A、B都正常工作時(shí)，系統(tǒng)S正常工作，已知元件A、B正常工作的概率依次為0.8、0.9，求系統(tǒng)S正常工作的概率；S:AB-1-解析：設(shè)元件A、B正常工作分別為事件A、B，由已知得P?A??0.8，P?B??0.9，顯然事件A（或B）發(fā)生對(duì)事件B（或A）發(fā)生的概率沒有影響，A、B是相互獨(dú)立事件，P?AB??P?A??P?B??0.72?0，即事件A、B完全可能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件。（3）一個(gè)袋子里裝有同質(zhì)的5

4、個(gè)白球和3個(gè)黃球，事件A：“從8個(gè)球中任取1個(gè)，取出的是白球”，事件B：“從剩下的7個(gè)球中任意取出1個(gè)，取出的還是白球”；2C555解析：顯然事件A、B完全可能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，P?AB???，又P?A??，2C148845當(dāng)A發(fā)生時(shí)，P?B??，當(dāng)A不發(fā)生時(shí)，P?B??，因此事件A、B也不是相互獨(dú)立事77件。（4）事件A：“常溫下，水結(jié)冰”，事件B：“擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面”；分析：顯然事件A是不可能事件，所以P?A??0，因此A、B不可能同時(shí)發(fā)生，是互斥事1件，并且不管A是否發(fā)生，都有P?B??，也即A、B也是相互獨(dú)立事件。2P?AB??P?A??P?B?=0。三、歸納感悟：從上述實(shí)例

5、中我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，互斥事件與相互獨(dú)立事件有如下關(guān)系：（1）對(duì)事件A、B，若P?A??0且P?B??0，有以下結(jié)論：若A、B相互獨(dú)立，則A、B一定不互斥（否則與P?AB??0矛盾）；若A、B互斥，則A、B一定不相互獨(dú)立。反之，不互斥的兩個(gè)事件可能相互獨(dú)立也可能不相互獨(dú)立，同樣，不相互獨(dú)立的兩個(gè)事件可能互斥也可能不互斥。（2）若事件A、B至少有一個(gè)為不可能事件，即至少有一個(gè)的概率為0，則A、B一定互斥，且一定相互獨(dú)立。同時(shí)，我們也不難歸納出對(duì)兩個(gè)事件是否相互獨(dú)立的兩種判斷方法：（1）經(jīng)驗(yàn)法：根據(jù)問題的實(shí)質(zhì)，從直觀上看一事件的發(fā)生是否影響另一事件發(fā)生的概率，若沒有影響，則可判斷相互獨(dú)立。（2）定義法：根

6、據(jù)定義式P?AB??P?A??P?B?來判斷，這是因?yàn)椴⒉皇撬械膯栴}都是那么容易通過“直覺”判斷的，比如說一個(gè)家庭中有兩個(gè)小孩（假定生男、生女是等可能-2-的），令A(yù)??一個(gè)家庭中有男孩、又有女孩?，B=?一個(gè)家庭中最多有一個(gè)女孩?，則?=??男，男?，?男，女?，?女，男?，?女，女??A???男，女?，?女，男??，，1P?A??，B???男，男?，?男，女?，?女，男??，231P?B??AB???男，女?，?女，男??，P?AB??，由此可知，4，2P?AB??P?A?P?B?，故A與B不相互獨(dú)立。四、綜合應(yīng)用：甲、乙兩人各進(jìn)行一次射擊，如果兩人擊中目標(biāo)的概率均為0.8，求：（1）兩

7、人都擊中目標(biāo)的概率；（2）其中恰有1人擊中目標(biāo)的概率；（3）至少有1人擊中目標(biāo)的概率。解析：（1）記“甲射擊一次擊中目標(biāo)”為事件A，“乙射擊一次擊中目標(biāo)”為事件B，顯然A、B相互獨(dú)立，所以P?AB??P?A??P?B??0.8?0.8?0.64。（2）有兩種情況：甲擊中乙未擊中，即AB或甲未擊中乙擊中，即AB，顯然在一次試驗(yàn)中，兩種情況不可能同時(shí)發(fā)生，即AB與AB是互斥的，又因?yàn)锳與B及A與B是相