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《§7子空間的直和》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、§7子空間的直和引入上節(jié)討論了子空間的和，若是的子空間,可以分解為，自然要問這種分解式唯一嗎？在幾何空間中,設(shè)是過原點(diǎn)的X軸上的所有向量構(gòu)成的子空間,是過原點(diǎn)的Y軸所有向量構(gòu)成的子空間.則，這時(shí),中的每一個(gè)向量都能唯一地表示成中子空間的這種和特別重要.的向量與中的向量的和.上的線性空間的定義7.1設(shè)是數(shù)域兩個(gè)子空間.若中的每一個(gè)向量的分解式是唯一的.稱為直和(directsum),記為定理7.1設(shè)為數(shù)域上的線性空間的兩個(gè)子空間.則下列命題等價(jià):是直和;零向量分解式是唯一的.即若下面,我們討論子空間的和
2、是直和的等價(jià)條件.則;3).2)顯然的.證明1)3)2),則,由,因而,故的分解式為3)1)設(shè)中的向量，于是,由，故＝0,于是這就是說，中的每一個(gè)向量的分解式都是唯一的,為直和.即對有限維子空間,我們有上的線性空間定理7.2設(shè)為數(shù)域的兩個(gè)有限維子空間.則下列命題等價(jià):1)是直和;2),則的一個(gè)基和3)分別取是的基.證明1)2)由是直和及定理7.1可得由維數(shù)公式得2)成立..故,3)分別取2)的一個(gè)基和,則從而,.故的秩從而線性無關(guān),即是的基.3)1)設(shè)的基分別為和,則是的基.,令.設(shè)于是.故維線性空間
3、上的為數(shù)域定理6.3設(shè)的子空間.由線性無關(guān),故,即，從而.故中的每一個(gè)向量的分解式是唯一的,即為直和.的一個(gè)子空間則存在,使,將其擴(kuò)充為證明在中取一組基的基，令.由定理6.4可知,是直和,故，則定義6.2設(shè)為數(shù)域上的線性空間的子空間.若存在,使的子空間為稱的余子空間.子空間的直和概念可以推廣到有限個(gè)子空間的情況.的余子空間.向量構(gòu)成的子空間都是則任意一條過原點(diǎn)但不在平面上的直線上的所有中,設(shè)是過原點(diǎn)的固定平面上的所有向量構(gòu)成的子空間.定理6.3說明了余子空間的存在性,但余子空間不是唯一的.例如,在幾何
4、空間定義6.3設(shè)上的線性空間均為數(shù)域的分解式每一個(gè)向量,的子空間.若中的都是唯一的.稱為直和,記為.與定理6.1及定理6.2類似,我們可以給出有限個(gè)子空間的和是直和的等價(jià)條件.定理6.4設(shè)均為數(shù)域上的線性空間的子空間.則下列命題等價(jià):1)為直和;2)中的零向量分解式一的;3);4);5)各取合起來構(gòu)成的基.例3設(shè)的子空間,證明:證明首先證明.顯然.,有由,，故,,從而,于是.故再證是直和.,則,,即,故綜上所述,.,故,從而是直和.學(xué)習(xí)與創(chuàng)新設(shè)w為數(shù)域p上的n維線性空間的子空間.則w的余子空間不是唯一
5、的.討論w的余子空間唯一的充要條件.
