子空間和與直和

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1、5.5子空間的和與直和授課題目：子空間的和與直和.教學(xué)目標(biāo)：1．理解并掌握子空間的概念.2．掌握子空間的判別方法，熟悉幾種常見(jiàn)的子空間.3．掌握子空間的交與和的概念.授課時(shí)數(shù)：3學(xué)時(shí)教學(xué)重點(diǎn)：子空間的判別.教學(xué)難點(diǎn)：子空間的交與和．教學(xué)過(guò)程：一子空間的的和回憶:令W是數(shù)域F上向量空間V的一個(gè)非空子集.如果W對(duì)于V的加法以及標(biāo)量與向量的乘法來(lái)說(shuō)是封閉的，那么就稱(chēng)W是V的一個(gè)子空間.一個(gè)向量空間V本身和零空間叫做V的平凡子空間。V的非平凡子空間叫做V的真子空間。1.定義：設(shè)，則稱(chēng)的子集為即=定理5.5.1

2、：若均為的兩個(gè)子空間，則仍然是子空間.證明：故對(duì)均為子空間.于是是的子空間。推廣：仍然是的子空間.補(bǔ)充：若=L，則=L證明：，有，設(shè)+=L定理5.5.2維數(shù)定理。dim()=dim證明:設(shè)取的一個(gè)基為因?yàn)橥堑淖涌臻g,所以可以分別擴(kuò)充成與的基(2)(3)這里下面證明(4)是的基.顯然,中每個(gè)向量都可以由(4)線性表示,只需證明(4)線性無(wú)關(guān).設(shè)則于是在F中存在使得即由于是的基,所以于是由于是的基,所以這樣(4)線性無(wú)關(guān),從而(4)是的基.從而對(duì)于時(shí),仿照上面的證明,把和的基拼起來(lái)就是和的基.推論：①d

3、im()dim②當(dāng)且僅當(dāng)={0}時(shí)=dim③dim＞n,則例1：設(shè)有向量組令，求的維數(shù)和一組基解：由于==L故的維數(shù)就是向量的秩，而這個(gè)向量組的極大無(wú)關(guān)組也是的基。將為列作矩陣施行初等行變換：由于秩（A）=秩（B）=3，且由B知，第2，3，4列線性無(wú)關(guān)，故便是的一個(gè)基。（楊子胥—下冊(cè)—154）例2：求和的基和維數(shù)解：給出P的一組基：而=A其中A=定義2設(shè)是線性空間V的兩個(gè)子空間，如果①②定理5.5.3.當(dāng)是直和則且分解成是唯一的證：“必要性”，若有則且，從而同理“充分性”（只須證），則，又，，由表示法

4、唯一，故，即故定理5.5.4.若，則下列命題彼此等價(jià)①②③的一個(gè)基與的一個(gè)基，并起來(lái)是的一個(gè)基證：運(yùn)用循回證法①②由知由維數(shù)定理，得②③分別是，那么，由于于是，為的基。③①設(shè)分別為與的基，有是的基，對(duì)有且令即線性無(wú)關(guān)故，又故三.余子空間的確定⑴.是n維向量空間的一個(gè)子空間，且，則存在余子空間使證：設(shè)是的一個(gè)基，則且，將擴(kuò)充為的一個(gè)基，使作，于是，而故是的余子空間，例：已知，，求的余子空間使。解：以為列作矩陣，對(duì)施行初等變換顯然線性無(wú)關(guān)，設(shè)，故為所求。⑵是n維線性空間的子空間，則的余子空間不唯一。證：（

5、另外找出的余子空間）設(shè)是的一個(gè)基，將其擴(kuò)充為的一個(gè)基于是為的余子空間。又也是的一個(gè)基。設(shè)是基數(shù)線性無(wú)關(guān)于是亦為之余子空間。（證，與中有一個(gè)向量不相同），若，則故線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)相矛盾。（3）.子空間的直和可以推廣到多個(gè)子空間的情形.設(shè)是線性空間的子空間，如果①②則稱(chēng)是的直和，記為例.設(shè)為數(shù)域，給出的兩個(gè)子空間為。證明：證明：法一：另知，，，因而由于因而，故