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1、高等代數(shù)§6.7子空間的直和第七節(jié)子空間的直和第六章線性空間LinearSpace§6.7子空間的直和一、子空間的直和的概念在線性空間V1+V2中，向量?=?1+?2（?1?V1,?2?V2）的表示法一般不唯一．例如，在R3中，子空間V1=L(e1,e2),V2=L(e1,e3)，其中e1=(1,0,0),e2=(0,1,0),e3=(0,0,1),則和空間V1+V2中，零向量的表示法不唯一:0=0+0=e1-e1．§6.7子空間的直和注◆子空間的直和是子空間的和的一種特殊情形.定義1設(shè)V1,V2是線性空間V的子空間，如果V1+V2中每個向量?的分解式?=?1+?2，?1?V1,?2?V2,是
2、唯一的，這個和就稱為直和，記為V1?V2.§6.7子空間的直和定理1設(shè)V1與V2是線性空間V的兩個子空間則下列命題等價:(1)V1+V2是直和;(2)零向量的分解式是唯一的,即由0=?1+?2（?1?V1,?2?V2）可以推出?1=?2=0;(3)V1∩V2={0};(4)dim(V1+V2)=dimV1+dimV2.二、子空間的直和的充分必要條件§6.7子空間的直和?=?1+?2=?1+?2，?1,?1?V1,?2,?2?V2.于是證明(1)(2)根據(jù)直和的定義直接得證.(2)(3)任取??V1∩V2，有0=?-?,??V1,??V2，由(2)知?=0,從而V1∩V2={0}.(3)(4)根
3、據(jù)維數(shù)公式直接得證.(4)(1)任取??V,設(shè)§6.7子空間的直和(?1-?1)=-(?2-?2),其中?1-?1?V1,?2-?2?V2.從而故?1-?1=0,?2-?2=0,即?1=?1,?2=?2.所以向量?的分解式是唯一的,即V1+V2是直和.證畢?1-?1?V1∩V2,?2-?2?V1∩V2.V1∩V2={0}.由(4)及維數(shù)公式知§6.7子空間的直和定理2設(shè)U是線性空間V的一個子空間，那么一定存在一個子空間W使V=U?W.即子空間的補空間一定存在.三、子空間的補空間定義2設(shè)U是線性空間V的一個子空間，若V的子空間W使V=U?W.則U叫做W的補空間，W也叫做U的補空間，或者稱U與W是
4、互補子空間.§6.7子空間的直和證明取U的一個基?1,…,?m.把它擴充為V的一個基?1,…,?m,?m+1,…,?n.令W=L(?m+1,…,?n).W滿足要求.證畢則U∩W={0}且U+W=V,§6.7子空間的直和例1在3維空間P3中，過原點的兩條相交直線的直和就是由這兩條直線所確定的平面.xoyzL1L2L1?L2§6.7子空間的直和例2設(shè)V=P3，L是過原點的直線，?是過原點的平面.令L上的點構(gòu)成的空間為U，?上的點構(gòu)成的空間為W，如果U∩W={0}，即L不在?上，則V=U?W.xoyz?L§6.7子空間的直和例3設(shè)V=P3，U=L(?1)，?1=(1,1,1)，求U的補空間W.解要求
5、補空間W，即要求W的一個基.只需把U的基擴充為P3的基.取e1=(1,0,0),e2=(0,1,0),因為向量組?1,e1,e2線性無關(guān)，所以它即為P3的基，于是e1,e2是W的一個基，即W=L(e1,e2).§6.7子空間的直和若令e3=(0,0,1),則e1,e3和e2,e3都可作為W的基，這就是說，子空間的補空間不是唯一的.在這里U是過原點的直線，W是過原點的平面.事實上，只要直線不在平面上，這時的W都是U的補空間.xoyzUW2W1e1e2e3▲§6.7子空間的直和定義3設(shè)V1,V2,…,Vs都是線性空間V的子空間.如果和V1+V2+…+Vs中每個向量?的分解式?=?1+?2+…+?s
6、,?i?Vi(i=1,2,…,s)是唯一的，這個和就稱為直和.記為四、多個子空間的直和V1?V2?…?Vs.§6.7子空間的直和定理3設(shè)V1,V2,…,Vs都是線性空間V的子空間，則下面這些條件是等價的：1)是直和；2)零向量的表示法唯一；3)4)dimW=?dimVi.證明略.▲§6.7子空間的直和
