偏導(dǎo)數(shù)及其經(jīng)濟應(yīng)用

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1、§8.2偏導(dǎo)數(shù)及其經(jīng)濟應(yīng)用教學(xué)目的：理解并掌握偏導(dǎo)數(shù)概念，能正確求出所給函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和高階偏導(dǎo)數(shù)．了解偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義．了解偏導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟分析中的應(yīng)用．重點：正確求出所給函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù)．難點：分清常量與變量，正確運用一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式求函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)．教學(xué)方法：啟發(fā)式講授與指導(dǎo)練習(xí)相結(jié)合教學(xué)過程：一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計算方法1.二元函數(shù)的全增量（全改變量）.二元函數(shù)對的偏增量（偏改變量）.二元函數(shù)對的偏增量.2.二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的定義【定義8.4】設(shè)函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)有定義，若一元函數(shù)在處存在導(dǎo)數(shù),則

2、稱為在點處對的偏導(dǎo)數(shù)，并記作，，或.其中.(2)類似可定義函數(shù)在點處對的偏導(dǎo)數(shù):14結(jié)論(1)當(dāng)在點處同時存在對，的偏導(dǎo)數(shù)時，簡稱在點可偏導(dǎo).(2)當(dāng)在平面某一區(qū)域內(nèi)每一點處都存在對，的偏導(dǎo)數(shù)時，則稱函數(shù)在該區(qū)域內(nèi)有偏導(dǎo)函數(shù)，記作也簡稱偏導(dǎo)數(shù)．3.多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的定義設(shè),若一元函數(shù)在處存在極,則稱此極限為在點處對的偏導(dǎo)數(shù)，并記作，，或.提問：用定義表示三元函數(shù)在點處的三個偏導(dǎo)數(shù).；；.結(jié)論：多元函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)時，只將一個變量看作未知量，而其余變量均看作常量，按照一元函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的法則求導(dǎo)數(shù)即是.即將中所有看作

3、常量而對14求導(dǎo)可得.4.偏導(dǎo)數(shù)函數(shù)設(shè)區(qū)域,若在內(nèi)每一點對的偏導(dǎo)數(shù)或都存在,那么或就稱為對的偏導(dǎo)函數(shù)，（它仍是的函數(shù)）.記作，（或）（或），（或）或（或）.可見,函數(shù)在處的值為偏導(dǎo)數(shù).以后在不混淆的情況下,將偏導(dǎo)函數(shù)也稱為偏導(dǎo)數(shù).例1(1)求在點處的偏導(dǎo)數(shù)．分析：二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)①將中的看作常量而對求導(dǎo)可得.②將中的看作常量而對求導(dǎo)可得.解,．,．(2)，則，..(3)（09.3.4）設(shè)，則14.例2求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)（注意復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則:層層求導(dǎo)，導(dǎo)數(shù)相乘的含義）(1)求．解,．（2）解．（3）設(shè)，其

4、中可微，求解（4）（考慮兩層復(fù)合的函數(shù)）解,.（5）（考慮三層復(fù)合的函數(shù)）解．14（6）解，，．（7）解．提問（2012-2-4-11）設(shè)，其中可微，則.提示：，.練習(xí)：（1）提示：．（2）設(shè)函數(shù)，求偏導(dǎo)數(shù).14提示：.（3）(95.3)設(shè),可導(dǎo),則　　　.提示　.提問:二元函數(shù)的兩個偏導(dǎo)數(shù)存在,且,，則【】.(A)關(guān)于是減函數(shù)，關(guān)于是增函數(shù)；(B)關(guān)于是增函數(shù)，關(guān)于是增函數(shù)；(C)關(guān)于是增函數(shù)，關(guān)于是增函數(shù)；(D)關(guān)于是增函數(shù)，關(guān)于是減函數(shù).答(D).因為表示當(dāng)保持不變時,是的單調(diào)增加函數(shù)表示當(dāng)保持不變

5、時,是的單調(diào)減少函數(shù).例3設(shè)，求證.證明因,,所以例4已知理想氣體的狀態(tài)方程(為常數(shù)),求證:.14證明因,,.所以.二、偏導(dǎo)數(shù)存在與函數(shù)連續(xù)的關(guān)系函數(shù)在一點的偏導(dǎo)數(shù)存在時并不一定在該點連續(xù)，但在點對的偏導(dǎo)數(shù)存在，一定關(guān)于是連續(xù)函數(shù)，同樣函數(shù)在一點對的偏導(dǎo)數(shù)存在，一定關(guān)于是連續(xù)函數(shù).并且有關(guān)于一元函數(shù)的增減性.偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)的關(guān)系（1）一元函數(shù)在某點可導(dǎo)連續(xù)，（2）多元函數(shù)中在某點偏導(dǎo)數(shù)存在連續(xù).例如:設(shè)由于,.即在點兩個偏導(dǎo)數(shù)都存在,但在點顯然間斷．因為.14又如，在點處兩個偏導(dǎo)數(shù)均存在且為0，（用下列方

6、法可求）,但是在點不連續(xù)，因為極限不存在.結(jié)論：多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)沒有必然關(guān)系.三、二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義偏導(dǎo)數(shù)就是曲面被平面所截得的曲線在點處的切線對軸的斜率.偏導(dǎo)數(shù)就是曲面被平面所截得的曲線在點處的切線對軸的斜率.14提問：是否存在一個函數(shù)，使得，？（分析：，所以這樣的不存在.）四、高階偏導(dǎo)數(shù)1.高階偏導(dǎo)數(shù):偏導(dǎo)函數(shù)，還是的函數(shù)，若，在區(qū)域內(nèi)對存在有偏導(dǎo)數(shù),則稱此偏導(dǎo)數(shù)為的二階偏導(dǎo)數(shù),并記作,,，,同理有,等等.2.【定理】如果函數(shù)的兩個二階混合偏導(dǎo)，在區(qū)域內(nèi)連續(xù)，則在該區(qū)域內(nèi)必.二階混合偏導(dǎo)

7、數(shù)在連續(xù)情況下與求導(dǎo)數(shù)的順序無關(guān).此性質(zhì)可以推廣到高階混合偏導(dǎo)數(shù).例5設(shè),于是，；14，；,.例6求函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù).解，，，．練習(xí):求函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù).解;.例7(05.8)設(shè)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且,求.解　由條件知,,14故.練習(xí)求下列函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，，例8證明函數(shù)滿足方程其中.證明:,；同理,..（自學(xué)內(nèi)容）、偏導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟分析中的應(yīng)用——交叉彈性(一元函數(shù)彈性)我們知道一元函數(shù)邊際與彈性分別表示經(jīng)濟函數(shù)在一點的變化率與相對變化率.將邊際與彈性概念推廣到多元函數(shù)微積分學(xué)中并被賦予經(jīng)濟含義,如某商品銷售

8、是它的價格14及其它商品價格的函數(shù),稱為對的交叉彈性.交叉彈性反映了兩種商品間的相關(guān)性．當(dāng)交叉彈性大于零時,兩商品為互為替代品；當(dāng)交叉彈性小于零時,兩商品為為互補品；當(dāng)交叉彈性等于零時,兩商品為相互獨立商品.【偏彈性定義】設(shè)函數(shù)在點處偏導(dǎo)數(shù)存在，函數(shù)對的相對改變量與自變量的相對改變量之比稱為函數(shù)對從到兩點間的彈性．當(dāng)時，的極限值稱為函數(shù)在點處對的彈性，記作，即.類似可以定義函數(shù)在處對的彈性為.特別地，如果中表示需求量，表示價格