數(shù)值分析-5常微分方程數(shù)值解法

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1、第5章常微分方程數(shù)值解法本章內容515.1引言1.1光波的特性5.2Euler方法5.3Runge-Kutta1.2光波在介質界面上的反射和折射方法5.4單步法的收斂性和穩(wěn)定性5.51.3線性多步法光波在金屬表面上的反射和折射2本章要求?主要內容：尤拉方法、改進的尤拉方法、龍格—庫塔方法、亞當姆斯方法。?基本要求–(1)掌握尤拉法。–(2)會用龍格─庫塔法。了解截斷誤差，穩(wěn)定性，收斂性的含義。?重點、難點–重點：尤拉方法的思想；–難點：龍格─庫塔法。3515.1引言$待求解的問題：常微分方程的定解問題著重考察：一階方程的初值

2、問題?y′=fbf()(xy,)[xa∈[],b](5.1.1)??yx()=y00(5.1.2)解的存在唯一性（“常微分方程”理論）：只要f(x,y)在[a,b]×R1上連續(xù)，且關于y滿足Lipschitz條件，即存在與x,y無關的常數(shù)L使

3、(,)(,)

4、

5、fxy?fxy≤?Lyy

6、1212對任意定義在[a,b]上的y(x)和y(x)都成立，則上述初值12問題存在唯一解。4515.1引言如何求解解析解法：（常微分方程理論）只能求解極少一類常微分方程；實際中給定的問題不一定是解析表達式，而是函數(shù)表，無法用解析解法。數(shù)值解法：

7、求解所有的常微分方程計算解函數(shù)y(x)在一系列節(jié)點a=x

8、(5.1.1)?yx()=y(5.1.2)?00對微分方程(511)(5.1.1)兩端從xx到進行積分nn+1xxnn++11ydx′=fxyxdx(,())∫∫xx右端積分用nn左矩形數(shù)值xn+1yx()()?=yxfxyxdx(,())求積公式nn+1∫xn令gx()=fxyx(,())bg′()ξ2∫gxdx()()=?baga()+()ba?a2得yy?=((((xx?)fx,y())(x))nnnnnn++11=hfxyx(,())(5.2.1)8nn52Euler5.2Euler方法yy?′=nn+1yxfxy(

9、)=(,)nnnxx?nn+1yyh=+=f(,xyn)0,1,...(5.2.1)nn+1nn式(5.2.1)稱為Euler格式。每步計算y只用到y(tǒng)，故也稱為ElEuler單步法。n+1n公式右端只含有已知項y，所以又稱為顯格式的單步法。n952Euler5.2Euler方法幾何意義稱為歐拉折線法1052Euler5.2Euler方法歐拉折線法pyn+1yyx=()pnp(x)n+1xxxnn+1從上述幾何意義上得知，由Euler法所得的折線明顯偏離了積分曲線，可見此方法非常粗糙。1152Euler5.2Euler方法顯然

10、，這種近似有一定誤差，而且步長越大，誤差越大，如何估計這種誤差y(x)?y？n+1n+1定義在假設yn=y(xn)，即第n步計算是精確的前提下，考慮公式或方法本身帶來的誤差:R=y(x)?y,稱為局部nn+1n+1截斷誤差。說明1252Euler5.2Euler方法截斷誤差:實際上，y(x)≈y，y也有誤差，它對y的誤差也有nnnn+1影響，見下圖。但這里不考慮此誤差的影響，僅考慮方法或公式本身帶來的誤差，因此稱為方法誤差或截斷誤差。局部截斷誤差的分析：由于假設y=y(x)，即y準確，因此分析nnn局部截斷誤差時將y(x)和

11、y都用點x上的信息來表示，工具：n+1n+1nTaylor展開。F歐拉法的局部截斷誤差：h23Ry=()xyy?=[()()xh+++y′xy′′()()xOh]nnnnn+111++2n[?+yhf(,)]xynnnR的主項2n+1h3=2yxOh′′()n+()(5.2.3)1352Euler5.2Euler方法定義若某算法的局部截斷誤差為O(hp+1)，則稱該算法有p階精度。2FRy≈h′′()xEuler法具有1階精度（）nn+12。在第二章討論牛頓插值公式時介紹了差商的概念和性質，各階差商可以近似各階導數(shù)，具有不同

12、的精度，且可以用函數(shù)值來表示。上一章中數(shù)值微分的方法之一就是用差商近似導數(shù).yx?yx在xn點用一階向前差商近y′()x≈()()nn+1n似一階導數(shù)hyx()()()≈+yxhyx′nnn+1EEl’uler’smeththdod↑y()x≈ynn14y()x≈=+yyhf(,)xynn