常微分方程 數(shù)值解法

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1、第8章　常微分方程實(shí)際中，很多問題的數(shù)學(xué)模型都是微分方程。我們可以研究它們的一些性質(zhì)。但是，只有極少數(shù)特殊的方程有解析解。對于絕大部分的微分方程是沒有解析解的。常微分方程作為微分方程的基本類型之一，在自然界與工程界有很廣泛的應(yīng)用。很多問題的數(shù)學(xué)表述都可以歸結(jié)為常微分方程的定解問題。很多偏微分方程問題，也可以化為常微分方程問題來近似求解。本章討論常微分方程的數(shù)值解法對于一個(gè)常微分方程：通常會(huì)有無窮個(gè)解。如：因此，我們要加入一個(gè)限定條件。通常會(huì)在端點(diǎn)出給出，如下面的初值問題：為了使解存在唯一，一般，要加限制條件在f上，要求f對y滿足Lipschitz條件：常

2、微分方程的解是一個(gè)函數(shù)，但是，計(jì)算機(jī)沒有辦法對函數(shù)進(jìn)行運(yùn)算。因此，常微分方程的數(shù)值解并不是求函數(shù)的近似，而是求解函數(shù)在某些節(jié)點(diǎn)的近似值。例：我們對區(qū)間做等距分割：設(shè)解函數(shù)在節(jié)點(diǎn)的近似為由數(shù)值微分公式，我們有，則：向前差商公式可以看到，給出初值，就可以用上式求出所有的基本步驟如下：③解差分方程，求出格點(diǎn)函數(shù)①對區(qū)間作分割：求在上的近似值。稱為分割上的格點(diǎn)函數(shù)②由微分方程出發(fā)，建立求格點(diǎn)函數(shù)的差分方程。這個(gè)方程應(yīng)該滿足：A、解存在唯一；B、穩(wěn)定，收斂；C、相容數(shù)值方法，主要研究步驟②，即如何建立差分方程，并研究差分方程的性質(zhì)。這種方法，稱為數(shù)值離散方法。求的

3、是在一系列離散點(diǎn)列上，求未知函數(shù)y在這些點(diǎn)上的值的近似。我們的目的，就是求這個(gè)格點(diǎn)函數(shù)為了考察數(shù)值方法提供的數(shù)值解，是否有實(shí)用價(jià)值，需要知道如下幾個(gè)結(jié)論：①步長充分小時(shí)，所得到的數(shù)值解能否逼近問題得真解；即收斂性問題②誤差估計(jì)③產(chǎn)生得舍入誤差，在以后得各步計(jì)算中，是否會(huì)無限制擴(kuò)大；穩(wěn)定性問題8.1Euler公式做等距分割，利用數(shù)值微分代替導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，建立差分方程。1、向前差商公式所以，可以構(gòu)造差分方程稱為局部截?cái)嗾`差。顯然，這個(gè)誤差在逐步計(jì)算過程中會(huì)傳播，積累。因此還要估計(jì)這種積累定義在假設(shè)yi=y(xi)，即第i步計(jì)算是精確的前提下，考慮的截?cái)嗾`差Ri=y

4、(xi+1)?yi+1稱為局部截?cái)嗾`差/*localtruncationerror*/。定義若某算法的局部截?cái)嗾`差為O(hp+1)，則稱該算法有p階精度。記為2、收斂性考察局部誤差的傳播和積累稱為整體截?cái)嗾`差是1階方法3、穩(wěn)定性－誤差在以后各步的計(jì)算中不會(huì)無限制擴(kuò)大。是格式對舍入誤差的抑止作用我們考慮一種簡單情況，即僅初值有誤差，而其他計(jì)算步驟無誤差。設(shè)是初值有誤差后的計(jì)算值，則所以，我們有：可以看出，向前差商公式關(guān)于初值是穩(wěn)定的。當(dāng)初始誤差充分小，以后各步的誤差也充分小4、向后差商公式是隱格式，要迭代求解可以由向前差商公式求出5、中心差商公式是多步，2

5、階格式，該格式不穩(wěn)定6、梯形法－基于數(shù)值積分的公式對微分方程做積分，則：類似，可以算出其誤差估計(jì)式：2階的方法所以，有格式為：是個(gè)隱式的方法，要用迭代法求解局部截?cái)嗾`差8.2Runge－Kutta法由Taylor展開記為所以，可以構(gòu)造格式這種格式使用到了各階偏導(dǎo)數(shù)，使用不便。從另一個(gè)角度看，取(x,y)及其附近的點(diǎn)做線性組合，表示F，問題就好辦了。當(dāng)然，要求此時(shí)的展開精度相同。這種方法稱為Runge－Kutta法在(x,y)處展開，比較以2階為例，設(shè)有：1、改進(jìn)的Euler公式2、Heun公式一般的Runge－Kutta法構(gòu)造常見的為3階，4階公式8.3

6、線性多步法用若干節(jié)點(diǎn)處的y及y’值的線性組合來近似y(xn+1)。)...(...110111101knknnnknknnnffffhyyyy--+---+++++++++=bbbbaaa其通式可寫為：當(dāng)??1?0時(shí)，為隱式公式;??1=0則為顯式公式。?基于數(shù)值積分的構(gòu)造法將在上積分，得到只要近似地算出右邊的積分，則可通過近似y(xn+1)。而選用不同近似式Ik，可得到不同的計(jì)算公式。若積分用節(jié)點(diǎn)作為積分點(diǎn)，則有積分系數(shù)這是顯格式，q+1階r+1步格式。r=max{p,q}為積分節(jié)點(diǎn)，可以構(gòu)造r+1步q+1階隱格式局部截?cái)嗾`差同樣，若以例：建立p=1,

7、q=2的顯格式p=1，q=2，顯格式，積分區(qū)間為積分節(jié)點(diǎn)為所以例：建立p=2,q=2的隱格式p=2，q=2，隱格式，積分區(qū)間為積分節(jié)點(diǎn)為所以它的截?cái)嗾`差較顯格式小，通常也具有更好的穩(wěn)定性。?Adams公式－－p=0時(shí)候的多步法參見書§8.4方程組和高階方程的數(shù)值解法寫成向量的形式：各種方法都可以直接運(yùn)用過來。Euler公式以兩個(gè)方程的方程組為例Runge-Kutta公式1、2、確定方法，然后求解（0.202760.0881157）（0.2130070.0934037）（0.2237630.0988499）（0.2350520.104437）（0.2469

8、020.110146）4階Runge-Kutta法，h=1高階方程則有：令例：考