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《常微分方程常用數(shù)值解法》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線(xiàn)閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、第一章緒論1.1引言常微分方程是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，是人們解決各種實(shí)際問(wèn)題的有效工具。微分方程的理論和方法從17世紀(jì)末開(kāi)始發(fā)展起來(lái)，很快成了研究自然現(xiàn)象的強(qiáng)有力工具，在17到18世紀(jì)，在力學(xué)、天文、科學(xué)技術(shù)、物理中，就已借助微分方程取得了巨大的成就。1864年Leverrer根據(jù)這個(gè)方程預(yù)見(jiàn)了海王星的存在，并確定出海王星在天空中的位置?，F(xiàn)在，常微分方程在許多方面獲得了日新月異的應(yīng)用。這些應(yīng)用也為常微分方程的進(jìn)一步發(fā)展提供了新的問(wèn)題，促使人們對(duì)微分方程進(jìn)行更深入的研究，以便適應(yīng)科學(xué)技術(shù)飛速發(fā)展的需要。研究常微分方程常用數(shù)值解是數(shù)學(xué)工作者的一項(xiàng)基本的且重要的
2、工作。在國(guó)內(nèi)外眾多數(shù)學(xué)家的不懈努力，使此學(xué)科基本上形成了一套完美的體系。微分方程的首要問(wèn)題是如何求一個(gè)給定方程的通解或特解。到目前為止，人們已經(jīng)對(duì)許多微分方程得出了求解的一般方法。由于在生產(chǎn)實(shí)際和科學(xué)研究中所遇到的微分方程問(wèn)題比較復(fù)雜，使這些問(wèn)題的解即使能求出解析表達(dá)式，也往往因計(jì)算量太大而難于求出，而對(duì)于一些典型的微分方程則可以運(yùn)用基本方法求出其解析解，并可以根據(jù)初值問(wèn)題的條件把其中的任意常數(shù)確定下來(lái)。由于求通解存在許多困難，人們就開(kāi)始研究帶某種定解條件的特解。首先是Cauchy對(duì)微分方程初始解的存在惟一性進(jìn)行了研究。目前解的存在惟一性、延拓性、大范圍的存
3、在性以及解對(duì)初始解和參數(shù)的延續(xù)性和可微性等理論問(wèn)題都已發(fā)展成熟。與此同時(shí)，人們開(kāi)始采取各種近似方法來(lái)求微分方程的特解，例如求微分方程數(shù)值解的Euler折線(xiàn)法、Runge-Kutta法等，可以求得若干個(gè)點(diǎn)上微分方程的近似解。最后，由于當(dāng)代高科技的發(fā)展為數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用和深入研究提供了更好的手段。用計(jì)算機(jī)結(jié)合Matlab軟件求方程的精確解、近似解，對(duì)解的性態(tài)進(jìn)行圖示和定性、穩(wěn)定性研究都十分方便有效。本章先介紹常微分的一般概念、導(dǎo)出微分方程的一些典型例子及求解微分方程的思路分析。從而得到常微分方程的常用數(shù)值解法。1.2常微分方程的概念1.常微分方程的定義含有未知量的
4、等式稱(chēng)為方程，它表達(dá)了未知量所必須滿(mǎn)足的某些條件。一般說(shuō)來(lái)，凡含有自變量、未知函數(shù)以及未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程稱(chēng)為微分方程。如果微分方程中的未知函數(shù)只依賴(lài)于一個(gè)自變量，則稱(chēng)為常微分方程；如果未知函數(shù)依賴(lài)于兩個(gè)或多個(gè)的自變量，并且在方程中出現(xiàn)偏導(dǎo)數(shù)，則稱(chēng)為偏微分方程。在在一個(gè)微分方程中，未知函數(shù)最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，稱(chēng)為方程的階數(shù)。如果一個(gè)微分方程關(guān)于未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)都是線(xiàn)性的，則稱(chēng)它為線(xiàn)性微分方程，否則稱(chēng)之為非線(xiàn)性微分方程。本論文主要介紹常微分方程，也簡(jiǎn)稱(chēng)微分方程。以為未知函數(shù)，為自變量的一階常微分方程的一般形式可表示為微分方程，(1.2.1)將（1.2.
5、1）中解出，則得到方程(1.2.2)或(1.2.3)也稱(chēng)（1.2.1）為一階隱式微分方程，（1.2.2）為一階顯式微分方程，（1.2.3）為一階微分方程的微分形式。階隱式方程的一般形式為(1.2.4)階顯式方程的一般形式(1.2.5)方程（1.2.4）中，如果函數(shù)對(duì)未知函數(shù)和它的各階導(dǎo)數(shù)都是一次的，則稱(chēng)其為線(xiàn)性常微分方程，否則，稱(chēng)其為非線(xiàn)性微分方程。以為未知函數(shù)，為自變量的階線(xiàn)性微分方程具有如下形式：(1.2.6)2.常微分方程的解設(shè)函數(shù)是定義在區(qū)間上的階可微導(dǎo)數(shù)。如果把代入方程（1.2.4）后能使其成為恒等式，即則稱(chēng)是微分方程（1.2.4）在區(qū)間上的一個(gè)解
6、。例如，是微分方程在的一個(gè)解.是微分方程在區(qū)間的一個(gè)解.如果關(guān)系式?jīng)Q定的隱函數(shù)是方程（1.2.4）的解，則我們稱(chēng)是（1.2.4）的隱式解。例如一階微分方程有隱式解我們把含有個(gè)相互獨(dú)立的任意常數(shù)的解稱(chēng)為階微分方程（1.2.4）的通解。在通解之中當(dāng)一組任意常數(shù)確定時(shí)，所得到確定的解稱(chēng)為特解。例如，是二階線(xiàn)性方程的通解，而都是其特解，其中是任意常數(shù)。一般地，方程的特解可由其通解中任意常數(shù)取確定的常數(shù)導(dǎo)出，且方程的通解不一定表示方程的所有解。3.常微分方程初值問(wèn)題為了確定微分方程的一個(gè)特解，我們可以給出這個(gè)微分方程的所滿(mǎn)足的定解條件，常見(jiàn)的定解條件是初始條件，即方程
7、（1.2.4）在某一點(diǎn)所滿(mǎn)足的條件：（1.2.7）微分方程（1.2.4）連同初始條件（1.2.7）一起稱(chēng)為初始值問(wèn)題。一階常微分方程初值問(wèn)題是求解函數(shù)，且滿(mǎn)足（1.2.8）其中為已知函數(shù)，為給定的初值。定理1.2.1假設(shè)在矩形區(qū)域內(nèi)連續(xù)，且關(guān)于變?cè)狶ipschitz連續(xù)，即存在正常數(shù)，使得對(duì)任意及，成立不等式(1.2.9)其中常數(shù)稱(chēng)為L(zhǎng)ipschitz常數(shù),則處置問(wèn)題存在惟一解，連續(xù)依賴(lài)于初值由常微分方程的基本理論，我們有：換句話(huà)說(shuō)，若是如下初值問(wèn)題(1.2.10)的解，則因此問(wèn)題（1.2.8）是適定的。定理1.2.2當(dāng)假定函數(shù)滿(mǎn)足定理1.2.1中的條件時(shí)，
8、也即微分方程（1.2.8）的解是適定的。綜上，高階常
