3、是幫助我們尋找解決一個問題的思路的好辦法哦定義在假設yn=y(xn)，即第n步計算是精確的前提下，考慮公式或方法本身帶來的誤差:Rn=y(xn+1)?yn+1,稱為局部截斷誤差/*localtruncationerror*/。說明顯然，這種近似有一定誤差，而且步長越大，誤差越大，如何估計這種誤差y(xn+1)?yn+1？§1Euler’sMethod截斷誤差:實際上，y(xn)?yn，yn也有誤差，它對yn+1的誤差也有影響，見下圖。但這里不考慮此誤差的影響，僅考慮方法或公式本身帶來的誤差，因此稱為方法誤差或截斷誤差。局部截斷誤差的分析：由于假設y
4、n=y(xn)，即yn準確，因此分析局部截斷誤差時將y(xn+1)和yn+1都用點xn上的信息來表示，工具：Taylor展開。?歐拉法的局部截斷誤差：Rn+1的主項/*leadingterm*/§1Euler’sMethod定義若某算法的局部截斷誤差為O(hp+1)，則稱該算法有p階精度。?歐拉法具有1階精度。在xn點用一階向前差商近似一階導數(shù)在第二章討論牛頓插值公式時介紹了差商的概念和性質(zhì)，各階差商可以近似各階導數(shù)，具有不同的精度，且可以用函數(shù)值來表示。上一章中數(shù)值微分的方法之一就是用差商近似導數(shù)Euler’smethod§1Euler’sMet
5、hod§1Euler’sMethod?歐拉公式的改進：隱式歐拉法或后退歐拉法/*implicitEulermethodorbackwardEulermethod*/xn+1點向后差商近似導數(shù)隱式或后退歐拉公式由于未知數(shù)yn+1同時出現(xiàn)在等式的兩邊，故稱為隱式/*implicit*/歐拉公式，而前者稱為顯式/*explicit*/歐拉公式。隱式公式不能直接求解，一般需要用Euler顯式公式得到初值，然后用Euler隱式公式迭代求解。因此隱式公式較顯式公式計算復雜，但穩(wěn)定性好（后面分析）。收斂性§1Euler’sMethod見上圖，顯然，這種近似也有一
6、定誤差，如何估計這種誤差y(xn+1)?yn+1？方法同上，基于Taylor展開估計局部截斷誤差。但是注意，隱式公式中右邊含有f(xn+1,yn+1),由于yn+1不準確，所以不能直接用y'(xn+1)代替f(xn+1,yn+1)設已知曲線上一點Pn(xn,yn),過該點作弦線，斜率為(xn+1,yn+1)點的方向場f(x,y)方向,若步長h充分小，可用弦線和垂線x=xn+1的交點近似曲線與垂線的交點。幾何意義xnxn+1PnPn+1xyy(x)§1Euler’sMethod?隱式歐拉法的局部截斷誤差：§1Euler’sMethod§1Euler’
7、sMethod?隱式歐拉法的局部截斷誤差：即隱式歐拉公式具有1階精度?！?Euler’sMethod比較尤拉顯式公式和隱式公式及其局部截斷誤差顯式公式隱式公式§1Euler’sMethod若將這兩種方法進行算術平均，即可消除誤差的主要部分/*leadingterm*/而獲得更高的精度,稱為梯形法§1Euler’sMethod?梯形公式/*trapezoidformula*/—顯、隱式兩種算法的平均注：的確有局部截斷誤差，即梯形公式具有2階精度，比歐拉方法有了進步。但注意到該公式是隱式公式，計算時不得不用到迭代法，其迭代收斂性與歐拉公式相似。梯形法的
8、迭代計算和收斂性收斂性§1Euler’sMethod梯形法的簡化計算迭代計算量大，且難以預測迭代次數(shù)。為了控制計算量，通常
