對稱自對偶色李代數(shù)

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1、蘇州大學(xué)學(xué)位論文獨(dú)創(chuàng)性聲明及使用授權(quán)的聲明學(xué)位論文獨(dú)創(chuàng)性聲明本人鄭重聲明：所提交的學(xué)位論文是本人在導(dǎo)師的指導(dǎo)下，獨(dú)立進(jìn)行研究工作所取得的成果。除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本論文不含其他個人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成果，也不含為獲得蘇州大學(xué)或其它教育機(jī)構(gòu)的學(xué)位證書而使用過的材料。對本文的研究作出重要貢獻(xiàn)的個人和集體，均已在文中以明確方式標(biāo)明。本人承擔(dān)本聲明的法律責(zé)任。研究生簽名：÷一一Et期：·，一。f一≥歹學(xué)位論文使用授權(quán)聲明蘇州大學(xué)、中國科學(xué)技術(shù)信息研究所、國家圖書館、清華大學(xué)論文合作部、中國社科院文獻(xiàn)信息情

2、報(bào)中心有權(quán)保留本人所送交學(xué)位論文的復(fù)印件和電子文檔，可以采用影印、縮印或其他復(fù)制手段保存論文。本人電子文檔的內(nèi)容和紙質(zhì)論文的內(nèi)容相一致。除在保密期內(nèi)的保密論文外，允許論文被查閱和借閱，可以公布(包括刊登)論文的全部或部分內(nèi)容。論文的公布(包括刊登)授權(quán)蘇州大學(xué)學(xué)位辦辦理。研究生簽名：S-枇日期：：!：!：蘭導(dǎo)師簽名：絲日期：絲l二蟬對稱自對偶色李代數(shù)引言李群及其李代數(shù)，通常稱之為李理論，從其產(chǎn)生至今有了非常巨大的發(fā)展，并日益顯示出與理論物理，量子物理及統(tǒng)計(jì)力學(xué)等學(xué)科的深刻聯(lián)系及廣泛應(yīng)用．因而，自二十世紀(jì)以來，已成為

3、當(dāng)代數(shù)學(xué)中不可或缺的重要分支之●_--一●十九世紀(jì)末，挪威數(shù)學(xué)家S．Lie在研究微分方程解的對稱性時引出了李群的概念．當(dāng)時，受Galois理論的啟發(fā)，數(shù)學(xué)家們將變換群的思想推廣到幾何與分析領(lǐng)域，發(fā)現(xiàn)幾何或分析領(lǐng)域的自同構(gòu)變換群其本身通常也會具有自然的幾何或分析的結(jié)構(gòu)，李群正是這樣的一種結(jié)合體．李群理論是隨著微分方程用積分求解的可能性問題以及連續(xù)變換群的研究而發(fā)展起來的．由于李群運(yùn)算的可微性，使得可以考慮它在無窮小層面上的線性化，從而得到一種無窮小群的結(jié)構(gòu)，這種結(jié)構(gòu)后來就被稱為李代數(shù)．李的基本定理告訴我們，李代數(shù)完全

4、決定了李群的局部性質(zhì)．由此出發(fā)，李群的局部結(jié)構(gòu)問題就轉(zhuǎn)化成了純粹且相對簡單的代數(shù)問題．1934年，H．Weyl正式引進(jìn)了李代數(shù)這一術(shù)語，并指出李代數(shù)具有獨(dú)立的研究價值，而隨后數(shù)學(xué)的發(fā)展證實(shí)了這一點(diǎn)．李代數(shù)的經(jīng)典理論的重要性在于它對李群的應(yīng)用．W．Killing和E．Cartan對于可解李代數(shù)，半單李代數(shù)等結(jié)構(gòu)的研究取得了豐富的成果．經(jīng)過E．Car乞an的工作和H．Weyl等人的完善，特征為零的域上的有限維單李代數(shù)的分類問題已經(jīng)獲得了圓滿的解決．隨著時間的推移，李代數(shù)在數(shù)學(xué)以及古典力學(xué)和量子力學(xué)中的地位不斷上升．到2

5、0世紀(jì)50年代以后，李代數(shù)已不再僅僅作為研究李群的代數(shù)工具，它已經(jīng)成為—個獨(dú)立的數(shù)學(xué)分支并取得了很快發(fā)展．復(fù)單李代數(shù)之所以有很好的結(jié)構(gòu)性質(zhì)，很大程度上取決于其上的Killing型，作為復(fù)單李代數(shù)的自然推廣，是帶有非退化、對稱、不變雙線性型的李代數(shù)，由于它在量子場論中的特殊作用，物理學(xué)家通常稱之為對稱自對偶李代數(shù)．單李代數(shù)自然是對稱自對偶李代數(shù)，但非單的對稱自對偶李代數(shù)大量存在，而且已經(jīng)證明這類李代數(shù)對量子場論有很重要作用，4維擴(kuò)張Heisenberg李代數(shù)是第一個這樣的例子。但是，這類李代數(shù)的結(jié)構(gòu)問題還遠(yuǎn)沒有解決．

6、1985年A．Medina和P．Revoy首次在李代數(shù)中使用了雙擴(kuò)張的概念，從而使我們對李代數(shù)的結(jié)構(gòu)有了更深刻的認(rèn)識，1987年，G．Favre，和L．J．San-對稱自對偶色李代數(shù)引言tharoubane兩人把李代數(shù)的雙擴(kuò)張進(jìn)行了完善并且給出了一些應(yīng)用，到了1997年，M．Bordemann研究了更一般的情況，考慮非結(jié)合代數(shù)上的非退化不變雙線性型，更重要的是他引進(jìn)了T。．?dāng)U張的概念，優(yōu)于前人的是通過一次擴(kuò)張就可以得到相應(yīng)的結(jié)果．同年，H．Benamor和S．Benayadi把這些結(jié)果推廣到了李超代數(shù)．本文研究對稱

7、自對偶色李代數(shù)的結(jié)構(gòu)性質(zhì)．色李代數(shù)是李代數(shù)和李超代數(shù)的自然推廣，在量子理論和共形場論等領(lǐng)域有很重要的作用，我們希望在色李代數(shù)上建立結(jié)構(gòu)理論，解決有限維單色李代數(shù)的分類問題，本文首先討論對稱自對偶色李代數(shù)的結(jié)構(gòu)性質(zhì)，希望對作為這類色李代數(shù)特例的單色李代數(shù)的分類問題起作用．本文我們研究特征為零的代數(shù)閉域F上的有限維色李代數(shù)．我們用g表示色李代數(shù)．設(shè)A=o^￡rA▲是一個帶有單位元的r．階化的F上的結(jié)合代數(shù)，即A^^CA^伽A，p∈r，因此1∈Ao．我們稱單階化的結(jié)合代數(shù)，如果A無非平凡的r-階化理想．我們用日(A)表示

8、A的所有的齊次元的集合．如果我們在A上定義雙線性色李括號【．’．】：p，引=xy—E仁，9)yx，Vz，秒∈日(A)，那么(A，【．，．】)就構(gòu)成色李代數(shù)，其中色李代數(shù)的定義可見(窿義1．1】)．A的一個理想U(xiǎn)是指A的_個r．階化向量空間滿足IA，U】cU，有時也稱為(e，r)．理想．A的￡-中心五(A)是指：五=五(A)=O∈AIk，al=o)．很容易看出