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1、第2章近世代數(shù)簡(jiǎn)介線性分組碼中最重要的一個(gè)子類---循環(huán)碼(RS、BCH碼)，它的結(jié)構(gòu)完全建立在有限域的基礎(chǔ)之上，被稱為代數(shù)幾何碼。有限域是以近世代數(shù)為基礎(chǔ)。10/6/20211天津大學(xué)電子信息工程學(xué)院2.1幾個(gè)概念1.質(zhì)數(shù)（素?cái)?shù)）一個(gè)大于1的正整數(shù)，只能被1和它本身整除。2.合數(shù)一個(gè)大于1的正整數(shù)，除了能被1和本身整除以外，還能被其他的正整數(shù)整除。例2-12，3，5，7，9，11，13，17，19…都是質(zhì)數(shù)；4，6，8，9，10，…都是合數(shù)；這樣，全體正整數(shù)又分為：全體素?cái)?shù)和全體合數(shù)。10/6/20212天津大學(xué)電子信息工程學(xué)院3.群(Group)設(shè)G是非空集合(set
2、)，并在G內(nèi)定義了一種代數(shù)運(yùn)算(operation)“?！?，若滿足下述公理：（1）具有封閉性(isclosed)；（2）結(jié)合率成立(isassociative)；（3）G中有一個(gè)恒等元e存在(existanidentityelement)；（4）有逆元存在(containaninverseelement)。稱G構(gòu)成一個(gè)群。10/6/20213天津大學(xué)電子信息工程學(xué)院（1）加群(additiongroup)、乘群(multiplicationgroup)（針對(duì)群中的運(yùn)算）（2）群的階（針對(duì)群中元素的個(gè)數(shù)）（3）有限群(finitegroup)、無(wú)限群(infinitegro
3、up)（針對(duì)群中元素的個(gè)數(shù)）（4）交換群(commutativegroup)或阿貝爾群(Abelgroup)（針對(duì)群中的運(yùn)算）10/6/20214天津大學(xué)電子信息工程學(xué)院例2-2G1：整數(shù)全體。對(duì)加法構(gòu)成群，無(wú)限加群；對(duì)乘法不夠成群。Why?G2：實(shí)數(shù)全體。對(duì)加法構(gòu)成群；除0元素之外的全體實(shí)數(shù)，對(duì)乘法構(gòu)成群。單位元e=1。這兩個(gè)群都是無(wú)限群。G1和G2有都是阿貝爾群。群將和聯(lián)系在一起？10/6/20215天津大學(xué)電子信息工程學(xué)院4.域(Field)對(duì)于非空元素集合F，若在F中定義了加法(addition)和乘法(multiplication)兩種運(yùn)算，且滿足下面的公理：（
4、1）F關(guān)于加法構(gòu)成阿貝爾群，其加法恒等元記為0；（2）F中非0元素全體對(duì)乘法構(gòu)成阿貝爾群，其乘法恒等元（單位元）記為1。（3）加法和乘法之間滿足如下分配率(distributive)：則稱F是一個(gè)域。10/6/20216天津大學(xué)電子信息工程學(xué)院（1）域的階（針對(duì)群中元素的個(gè)數(shù)），記為q。（2）有限域或伽邏華（Galois）域，表示為：GF(q)。域?qū)⒑吐?lián)系在一起？10/6/20217天津大學(xué)電子信息工程學(xué)院例2-3F1：有理數(shù)全體、實(shí)數(shù)全體對(duì)加法和乘法都分別構(gòu)成域，分別稱為有理數(shù)域和實(shí)數(shù)域。F2：0、1兩個(gè)元素模2加構(gòu)成域；由于該域中只有兩個(gè)元素，記為GF(2)。10/6
5、/20218天津大學(xué)電子信息工程學(xué)院定理：設(shè)p為質(zhì)數(shù)，則整數(shù)全體關(guān)于p模的剩余類：0，1，2，…，p-1，在模p的運(yùn)算下（p模相加和相乘），構(gòu)成p階有限域GF(p)。例2-4驗(yàn)證以p=3為模的剩余類全體：0，1，2構(gòu)成一個(gè)有限域GF(3)。+012001211202201×01200001012202110/6/20219天津大學(xué)電子信息工程學(xué)院分析：是否構(gòu)成域？對(duì)加法是否構(gòu)成群？除0之外對(duì)乘法是否構(gòu)成群？（1）對(duì)兩種運(yùn)算滿足封閉性，即有a。b?G；（2）滿足結(jié)合率，即有(a。b)。c=a。（b。c）；（3）有恒等元（加法為0，乘法為1）；（4）有逆元。即對(duì)任意a?G，存
6、在有a的逆元a-1?G，使a。a-1=a-1。a=e。10/6/202110天津大學(xué)電子信息工程學(xué)院B.是否為阿貝爾群？是否可交換：a。b=b。a（滿足乘法、加法交換率）C.是否滿足分配率？10/6/202111天津大學(xué)電子信息工程學(xué)院5.循環(huán)群如果一個(gè)元素?的各次冪?0，?1，?2，…的全體構(gòu)成了一個(gè)群，稱為循環(huán)群（cyclegroup），元素?稱為生成元或者本原元（primitiveelement）。記作：G={?0，?1，?2，…}，其中?0=e是單位元?？梢宰C明，有限域GF(q)的q-1個(gè)非0元素，在模q乘運(yùn)算下，可以構(gòu)成一個(gè)循環(huán)群（冪群），即G上的所有非0元素可
7、以由一個(gè)元素?的各次冪?0，?1，?2…，?q-1生成。10/6/202112天津大學(xué)電子信息工程學(xué)院例2-5q=5的伽邏華域GF(5)={0,1,2,3,4}，由5個(gè)域元素組成，其中非零元素為1,2,3,4，進(jìn)行模5乘運(yùn)算。為了弄清那些元素是本原元，分別計(jì)算各元素的各次冪。由本原元可以產(chǎn)生所有的域元素。10/6/202113天津大學(xué)電子信息工程學(xué)院GF(5)中非零元素的冪、階及其逆元元素?各次冪元素的階加法逆元乘法逆元?0?1?2?31111114121243（8）4333134（9）2（27）4224141（16）4（64
