《近世代數(shù)》ppt課件.ppt

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1、§1.1-§1.6目的與要求:◆掌握集合及相關(guān)概念．◆掌握映射的定義及相關(guān)概念,學(xué)會(huì)驗(yàn)證映射的合理性．◆熟練掌握代數(shù)運(yùn)算的概念并會(huì)驗(yàn)證.◆掌握結(jié)合律,交換律,分配律的概念及其性質(zhì).《近世代數(shù)》精品課程第一章基本概念集合：集合是一個(gè)不定義名詞，但可以給集合作一些描述性的解釋.所謂集合就是具有一定屬性的事物組成的整體(或集體).通常用英文大寫(xiě)字母A,B,C，…等表示.§1.1集合一、概念集合中的元素具有:2.元素（或元）:組成一個(gè)集合的事物.如果a是集合A中的元素，記作；如果a不是集合A的元素，記作或.幾個(gè)常用的數(shù)集：N(自然數(shù)集)，Z(整數(shù)集),Q(有

2、理數(shù)集)，R(實(shí)數(shù)集),C(復(fù)數(shù)集).確定性;互異性;無(wú)序性.Aa?Aa?Aa?《近世代數(shù)》精品課程4．子集：設(shè)A,B是集合，則(B是A的子集)是指真子集：B是A的真子集是指且，但.冪集：集合S的冪集是指由S的全體子集組成的集合，記作.5．集合的表示方法表示一個(gè)集合的方法通常有很多，如列舉法：列出它的所有元素，并用一對(duì)花括號(hào)括起來(lái).描述法：用其中元素所具有的特性來(lái)刻畫(huà).圖表法：用一些特殊的圖形來(lái)表示出它的所有元素.3．空集：沒(méi)有元素的集合，記作.《近世代數(shù)》精品課程6.集合的分類(lèi)：集合的分類(lèi)有很多種，常見(jiàn)的有（1）有限集（2）可數(shù)集（3）無(wú)序集等等.

3、無(wú)限集；不可數(shù)集；有序集二、集合的運(yùn)算補(bǔ)集就是特殊的差，即取A為全集．交：{且}．并：＝{或}．差：{且}．《近世代數(shù)》精品課程即由一切從里順序取出元素組成的元素組，組成的集合．例A={1,2,3}，B={4,5},則下一節(jié)我們將考慮集合之間的一種比較工具：映射積：設(shè)是n個(gè)集合，則集合的積(Descartes積)定義為：={(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5)}，={(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3)}．《近世代數(shù)》精品課程(3)一般情形，將A換成集合的積，則對(duì)　　　　　　　　　　

4、　　　　有注:(1)映射定義中“b”的唯一性：映射不能“一對(duì)多”，但可以“多對(duì)一”．(2)記法：：，　?。x1.2.1設(shè)A,B是兩個(gè)集合．A到B的一個(gè)映射是指有一個(gè)對(duì)應(yīng)法則，使得對(duì)于，存在唯一的元素通過(guò)與之對(duì)應(yīng).有時(shí)也稱(chēng)對(duì)應(yīng)法則是A到B的一個(gè)映射，其中b稱(chēng)為a在映射下的像，記為b=(a)，a稱(chēng)為b在映射下的一個(gè)逆像(原像).A稱(chēng)為的定義域，B稱(chēng)為的值域.§1.2映射《近世代數(shù)》精品課程例2設(shè)則不是映射.因?yàn)橛成湟獫M(mǎn)足每一個(gè)元都要有一個(gè)像．而是一個(gè)映射．例1設(shè)集合,對(duì)定義則是一個(gè)到B的映射．《近世代數(shù)》精品課程《近世代數(shù)》精品課程例3設(shè)A1=B=Z，

5、則其中,不是一個(gè)映射，這是因?yàn)楫?dāng)時(shí)，b=此時(shí)1在下的像就不唯一．例4設(shè)(正整數(shù)集)，則：不是一個(gè)映射．因?yàn)闀r(shí)，．例5設(shè)為正整數(shù)集．定義則.定義1.2.2設(shè)是A到B的兩個(gè)映射，若對(duì)，有則稱(chēng)與是相等的,記作.注:映射相等　　構(gòu)成映射的三要素（值域、定義域、對(duì)應(yīng)法則）全相同．《近世代數(shù)》精品課程§1.3代數(shù)運(yùn)算定義1.3.1設(shè)A,B,D是三個(gè)非空集合.從到D的映射叫做一個(gè)到D的二元代數(shù)運(yùn)算；當(dāng)A=B=D時(shí),從到A的映射簡(jiǎn)稱(chēng)A上的代數(shù)運(yùn)算或二元運(yùn)算.一個(gè)代數(shù)運(yùn)算可以用表示，并將(a,b)在運(yùn)算　下的像記作.注:（１）是A上的代數(shù)運(yùn)算　　　　　　，.（２）當(dāng)A

6、,B是有限集時(shí)，到D的代數(shù)運(yùn)算通?？梢杂靡粋€(gè)矩形表（即運(yùn)算表）給出.《近世代數(shù)》精品課程例設(shè)A={}，B={}，則到D的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算()可表示為此表也稱(chēng)為凱萊運(yùn)算表.結(jié)合律、交換律、分配律下面我們將考慮一些常見(jiàn)的運(yùn)算定律：《近世代數(shù)》精品課程§1.4結(jié)合律定義1.4.1設(shè)是集合A的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算.如果對(duì)任意有,則稱(chēng)代數(shù)運(yùn)算適合結(jié)合律，并且將運(yùn)算結(jié)果統(tǒng)一記成．對(duì)于A中n個(gè)元，當(dāng)元素的排列順序不變時(shí)(如按下標(biāo)的自然順序)，可以有種不同的加括號(hào)方法.它們的計(jì)算結(jié)果未必相同.不妨用，來(lái)表示這些加括號(hào)的不同方法.《近世代數(shù)》精品課程定理1.4.1設(shè)集合A的一個(gè)代

7、數(shù)運(yùn)算適合結(jié)合律，則對(duì)任意,所有的都相等，其結(jié)果統(tǒng)一記為.《近世代數(shù)》精品課程§1.5交換律定義1.5.1設(shè)是到的代數(shù)運(yùn)算。如果有成立，則稱(chēng)運(yùn)算滿(mǎn)足交換律.定理1.5.1假設(shè)一個(gè)集合A的代數(shù)運(yùn)算同時(shí)適合結(jié)合律與交換律,那么在中，元素的次序可以調(diào)換.例判定下列有理數(shù)集Q上的代數(shù)運(yùn)算是否適合結(jié)合律，交換律？(1)(適合結(jié)合律和交換律)(2)(適合交換律，但不適合結(jié)合律)(3)(適合結(jié)合律，但不適合交換律)(4)(既不適合結(jié)合律，也不適合交換律)《近世代數(shù)》精品課程§1.6分配律定義1.6.1設(shè)⊙是到的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算，是上　　　　　的一個(gè)二元代數(shù)運(yùn)算.若對(duì)都

8、有⊙()=(⊙)(⊙)成立，則稱(chēng)⊙，適合第一分配律(左分配律).定理1.6.1假設(shè)適合結(jié)合律，且⊙，適合第一