常微分方程的應(yīng)用

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1、學(xué)士學(xué)位論文BACHELOR’STHESIS　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　編號學(xué)士學(xué)位論文常微分方程的應(yīng)用學(xué)生姓名：學(xué)號：系部：專業(yè)：數(shù)學(xué)年級：指導(dǎo)教師：完成日期：年月日12學(xué)士學(xué)位論文BACHELOR’STHESIS中文摘要此處為中文摘要，宋體小四號字，行間距1.25。關(guān)鍵詞：多個(gè)關(guān)鍵詞之間用分號隔開12學(xué)士學(xué)位論文BACHELOR’STHESIS目　錄中文摘要1引言21.微分方程的應(yīng)用21.1等角軌線，正交軌線31.2幾何學(xué)問題71.3動力學(xué)問題81.4生態(tài)學(xué)中的增長問題9總結(jié)11參考文獻(xiàn)12致謝1212學(xué)士學(xué)位論文BACHELOR’ST

2、HESIS12學(xué)士學(xué)位論文BACHELOR’STHESIS引言人們在對物質(zhì)的運(yùn)動進(jìn)行定量或定性的摸術(shù)時(shí)常常需要借助于數(shù)學(xué)工具。常微分方程是描述物質(zhì)運(yùn)動經(jīng)常使用，而且還使用得十分廣泛的一種數(shù)學(xué)工具。通過分析是想應(yīng)的微分方程的各種特性，能夠?qū)λ芯课镔|(zhì)的生態(tài)，獲得某些定性和定量的了解。本文我將通過實(shí)列說明一些物理學(xué)，幾何學(xué)，得某些定律或某些生態(tài)問題是如何導(dǎo)致微分方程問題的。由于這文的目的是說明如何從實(shí)際問題導(dǎo)致微分方程問題的。1.微分方程的應(yīng)用常微分方程的應(yīng)用很廣泛，常微分方程的產(chǎn)生和發(fā)展愿與實(shí)際問題的需要，同時(shí)它也成為解決實(shí)際問題的有力工具。我們應(yīng)用常微分

3、方程能解決幾何學(xué)，動力學(xué)，電學(xué)，光學(xué)，化學(xué)，天文學(xué)中的一些問題。一般來說，用常微分方程解決問題過程分以下三個(gè)步聚：1.建立方程。對所研究問題，根據(jù)已知定律或公式以及某些等量關(guān)系列出微分方程和相應(yīng)初值條件。2.求解微分方程。3.分析問題。通過已求得的解的性質(zhì)，分析實(shí)際問題。用微分方程來解決實(shí)際問題必順考慮如下幾個(gè)方面：1.轉(zhuǎn)換。把實(shí)際問題的文字語言轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)語言與符號，如數(shù)學(xué)上倒數(shù)用來表示運(yùn)動學(xué)中的速率，生物學(xué)中的增長率，放射學(xué)中的衰減率等。既了解所討論問題學(xué)科方面的知識，又掌握數(shù)學(xué)知識，我們就會在這兩者之間架起溝通橋染，完成建模任務(wù)。2.關(guān)鍵。微分方程是

4、瞬時(shí)命題，它必順在任何時(shí)刻都正確，這是數(shù)學(xué)中心部分。如果你已經(jīng)了解代表導(dǎo)數(shù)的關(guān)鍵詞語，想找出,與之間的關(guān)系12學(xué)士學(xué)位論文BACHELOR’STHESIS，首先要集中研究變化率，其次要注到往往不是直接對這些量應(yīng)用規(guī)律，而是對某些微元應(yīng)用，在取極限而得到微分方程，這就是數(shù)學(xué)上的所謂微元分析方法。3.單位。對于進(jìn)入微分方程的項(xiàng)必須保證它的每一項(xiàng)有相同的單位（如m/s,kg/d,…）如果注意到了這些，往往可以幫助你是實(shí)現(xiàn)與檢驗(yàn)微分方程的正確性。4.已知條件。它是在特定地點(diǎn)或時(shí)間的已知信息，它們不屬于微分方程本身，而是用來決定特定的運(yùn)動或常數(shù)。這些就是所謂的初始

5、條件或邊界條件。5.求解。這一步是純數(shù)數(shù)學(xué)問題，綜合我們學(xué)到的數(shù)學(xué)知識，求精確或近似解。1.1等角軌線，正交軌線我們來求這樣的曲線獲取險(xiǎn)族，使得它與某已知曲線族的每一條曲線相交成給定的角度。這樣的曲線稱為已知曲線的等角軌線。當(dāng)所給定的角為直角時(shí)，等角軌線稱為正交軌線。求等角軌線的方法：設(shè)在（）平面上，給定一個(gè)單叁數(shù)曲線族求這樣的曲線L與（C）中每一條曲線的交角度都是定角（圖1）（圖1）設(shè)的方成為。為了求，我們先來求出12學(xué)士學(xué)位論文BACHELOR’STHESIS所應(yīng)滿足的微分方程，也就是要先求得的關(guān)系式。條件告訴我們與的曲線相交成定角，于是，可以想象，

6、和必然應(yīng)當(dāng)與中的曲線及其且顯得斜率有一個(gè)關(guān)系。事實(shí)上，當(dāng)時(shí)，有或①當(dāng)時(shí)，②又因?yàn)樵诮稽c(diǎn)處，，于是如果我們能求得的關(guān)系即曲線族所滿足的微分方程只要把盒①霍②代入（*），就可以求得的方成了。如何求（*）呢？采用分析法。設(shè)為中任一條曲線，于是存在相應(yīng)的，使得③因?yàn)橐蟮年P(guān)系，將上式對求導(dǎo)數(shù)，得④這樣，將上兩式聯(lián)立，既由⑤12學(xué)士學(xué)位論文BACHELOR’STHESIS肖去,就得到所應(yīng)當(dāng)滿足的關(guān)系這個(gè)關(guān)系成為曲線族的微分方程。于是，等較軌線的微分方程為⑥而正交軌線（）的微分方程為⑦例1：求直線束的等角軌線和正交軌線。解：首先求直線族的微分方程。將對求導(dǎo)，得，由肖

7、去，就得到的微分方程當(dāng)時(shí)，由（1.6）知道，等角軌線的微分方程為12學(xué)士學(xué)位論文BACHELOR’STHESIS或及即積分后得到或如果寫成極坐標(biāo)形式，不難看出等角軌線為對數(shù)螺線（圖2）如果，由⑦可知，正交軌線的微分方程為即或故正交軌線為同心圓族（圖3）12學(xué)士學(xué)位論文BACHELOR’STHESIS圖3圖21.2幾何學(xué)問題例2：設(shè)曲線位于平面的第一象限內(nèi)，上任一點(diǎn)處的一切線與軸總相交，交點(diǎn)記為，已知且經(jīng)過點(diǎn)求的方程。圖4解：題中的要求是，抓住這個(gè)關(guān)系式建立方程。設(shè)曲線的任一點(diǎn)的坐標(biāo)是，曲線的方程為，于是過點(diǎn)曲線的切線方程為與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為：由推知其中，化

8、簡便得12學(xué)士學(xué)位論文BACHELOR’STHESIS初值條件是，上述方程是伯努