常微分方程及其應(yīng)用

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1、第5章常微分方程及其應(yīng)用習(xí)題5.21．求下列各微分方程的通解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．2．求下列各微分方程滿足所給初始條件的特解：（1），；（2），；（3），；（4），；（5），；（6），．5.3可降階微分方程及二階常系數(shù)線性微分方程案例引入求微分方程的通解．解兩邊積分，得兩邊再積分，得所以，原方程的通解為，其中為任意常數(shù)．5.3.1可降階微分方程1.形如的微分方程特點(diǎn)：方程右端為已知函數(shù)．解法：對(duì)連續(xù)積分次，即可得含有個(gè)任意常數(shù)的通解．2.形如的微分方程特點(diǎn)：方程右端不顯含未知函數(shù)．23解法：令，則．于是，原方程可化為．這是關(guān)于的一階微分方程．設(shè)其通

2、解為，即．兩邊積分，即可得原方程通解，其中為任意常數(shù)．3.形如的微分方程特點(diǎn)：方程右端不顯含自變量．解法：令，則．于是，原方程可化為．這是關(guān)于的一階微分方程．設(shè)其通解為，即．分離變量，得．然后兩邊積分，即可得原方程通解，其中為任意常數(shù)．例5-7求微分方程的通解．解兩邊積分，得兩邊再積分，得第三次積分，得所以，原方程的通解為，其中為常數(shù)．例5-8求微分方程的通解．解令，則．原方程可化為，即．這是關(guān)于的一階線性齊次微分方程．其通解為：，即．兩邊積分，即得原方程通解23，其中為任意常數(shù)．例5-9求微分方程的通解．解令，則．于是，原方程可化為．這是關(guān)于的一階線性非齊次微分方程．其通解

3、為即．兩邊積分，即得原方程通解其中為任意常數(shù)．例5-10求微分方程的通解．解令，則．于是，原方程可化為，即．這是關(guān)于的一階線性齊次微分方程．其通解為，即．所以原方程通解為，其中為任意常數(shù)．5.3.2二階常系數(shù)齊次線性微分方程定義5.4形如（5-5）的微分方程，稱(chēng)為二階常系數(shù)齊次線性微分方程．1.二階常系數(shù)齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu)23定理5.1如果函數(shù)和是方程（5-5）的兩個(gè)解，那么（5-6）也是方程（5-5）的解．（證明略）定理5.1表明，二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解具有疊加性．那么疊加起來(lái)的解就是通解嗎？不一定．例如，設(shè)函數(shù)是方程（5-5）的一個(gè)解，則函數(shù)也是方程（5-5

4、）的一個(gè)解．由定理5.1可知，是方程（5-5）的解．但仍是一個(gè)任意常數(shù)，所以不是方程（5-5）的通解．那么在什么條件下才能保證就是通解呢？定義5.5設(shè)和是定義在某區(qū)間上的兩個(gè)函數(shù)，如果存在兩個(gè)不全為零的常數(shù)和，使在區(qū)間上恒成立，則稱(chēng)函數(shù)與在區(qū)間上線性相關(guān)，否則稱(chēng)線性無(wú)關(guān)．由定義5.5可知，判斷函數(shù)與線性相關(guān)或線性無(wú)關(guān)的方法：當(dāng)常數(shù)時(shí)，與線性相關(guān)．當(dāng)常數(shù)時(shí)，與線性無(wú)關(guān)．定理5.2如果函數(shù)和是方程（5-5）的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解，那么（5-6）是方程（5-5）的通解．（證明略）2.二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法由上述關(guān)于解的結(jié)構(gòu)分析可知，欲求方程（5-5）的通解，首先需討論如何求

5、出方程（5-5）的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解．猜想方程（5-5）有形如的解，其中為待定常數(shù)．將代入該方程，得23，由于，所以只要滿足方程（5-7）即當(dāng)是方程（5-7）的根時(shí)，函數(shù)就是方程（5-5）的解．定義5.6方程（5-7）稱(chēng)為方程（5-5）的特征方程．特征方程的根稱(chēng)為特征根．設(shè)為特征方程（5-7）的兩個(gè)特征根．根據(jù)特征根的不同情形，確定方程（5-5）的通解有以下三種情況：（1）若方程（5-7）有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則和是方程（5-5）的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解，故方程（5-5）的通解為，其中為任意常數(shù)．（2）若方程（5-7）有兩個(gè)相等實(shí)根，則僅得到一個(gè)特解，利用常數(shù)變易法可得到與線性無(wú)關(guān)

6、的另一個(gè)特解，故方程（5-5）的通解為，其中為任意常數(shù)．（3）若方程（5-7）有一對(duì)共軛復(fù)根與，則和是方程（5-5）的兩個(gè)復(fù)數(shù)特解．為便于在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)討論問(wèn)題，在此基礎(chǔ)上可找到兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的實(shí)數(shù)特解和．故方程（5-5）的通解為，其中為任意常數(shù)．由定理5.1可知，以上兩個(gè)函數(shù)和均為方程（5-5）的解，且它們線性無(wú)關(guān)．上述依據(jù)特征根的不同情形來(lái)求二階常系數(shù)齊次線性微分方程通解的方法，稱(chēng)為特征根法．一般步驟：第一步寫(xiě)出所給微分方程的特征方程；23第二步求出特征根；第三步根據(jù)特征根的三種不同情形，寫(xiě)出通解．（特征根與通解的關(guān)系參見(jiàn)表5-1）表5-1特征根與通解的關(guān)系特征方程的兩個(gè)根微

7、分方程的通解一兩個(gè)不相等實(shí)根二兩個(gè)相等實(shí)根三一對(duì)共軛復(fù)根，例5-11求微分方程的通解．解該方程的特征方程的特征根為，（）．所以，方程的通解為．例5-12求微分方程滿足初始條件，的特解．解該方程的特征方程的特征根為．所以方程的通解為上式對(duì)求導(dǎo)，得：將，代入上兩式，解得，．因此，所求特解為．例5-13求微分方程的通解．解該方程的特征方程的特征根為，．所以，方程的通解為．5.3.3二階常系數(shù)非齊次線性微分方程定義5.7形如23（5-8）的微分方程，稱(chēng)為二階常系數(shù)非齊次線性微分方程．1.二階常系數(shù)非齊次線性微分