常微分方程及其應用

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1、第5章常微分方程及其應用習題5.21．求下列各微分方程的通解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．2．求下列各微分方程滿足所給初始條件的特解：（1），；（2），；（3），；（4），；（5），；（6），．5.3可降階微分方程及二階常系數線性微分方程案例引入求微分方程的通解．解兩邊積分，得兩邊再積分，得所以，原方程的通解為，其中為任意常數．5.3.1可降階微分方程1.形如的微分方程特點：方程右端為已知函數．解法：對連續(xù)積分次，即可得含有個任意常數的通解．2.形如的微分方程特點：方程右端不顯含未知函數．23解法：令，則．于是，原方程可化為．這是關于的一階微分方程．設其通

2、解為，即．兩邊積分，即可得原方程通解，其中為任意常數．3.形如的微分方程特點：方程右端不顯含自變量．解法：令，則．于是，原方程可化為．這是關于的一階微分方程．設其通解為，即．分離變量，得．然后兩邊積分，即可得原方程通解，其中為任意常數．例5-7求微分方程的通解．解兩邊積分，得兩邊再積分，得第三次積分，得所以，原方程的通解為，其中為常數．例5-8求微分方程的通解．解令，則．原方程可化為，即．這是關于的一階線性齊次微分方程．其通解為：，即．兩邊積分，即得原方程通解23，其中為任意常數．例5-9求微分方程的通解．解令，則．于是，原方程可化為．這是關于的一階線性非齊次微分方程．其通解

3、為即．兩邊積分，即得原方程通解其中為任意常數．例5-10求微分方程的通解．解令，則．于是，原方程可化為，即．這是關于的一階線性齊次微分方程．其通解為，即．所以原方程通解為，其中為任意常數．5.3.2二階常系數齊次線性微分方程定義5.4形如（5-5）的微分方程，稱為二階常系數齊次線性微分方程．1.二階常系數齊次線性微分方程解的結構23定理5.1如果函數和是方程（5-5）的兩個解，那么（5-6）也是方程（5-5）的解．（證明略）定理5.1表明，二階常系數齊次線性微分方程的解具有疊加性．那么疊加起來的解就是通解嗎？不一定．例如，設函數是方程（5-5）的一個解，則函數也是方程（5-5

4、）的一個解．由定理5.1可知，是方程（5-5）的解．但仍是一個任意常數，所以不是方程（5-5）的通解．那么在什么條件下才能保證就是通解呢？定義5.5設和是定義在某區(qū)間上的兩個函數，如果存在兩個不全為零的常數和，使在區(qū)間上恒成立，則稱函數與在區(qū)間上線性相關，否則稱線性無關．由定義5.5可知，判斷函數與線性相關或線性無關的方法：當常數時，與線性相關．當常數時，與線性無關．定理5.2如果函數和是方程（5-5）的兩個線性無關的特解，那么（5-6）是方程（5-5）的通解．（證明略）2.二階常系數齊次線性微分方程的解法由上述關于解的結構分析可知，欲求方程（5-5）的通解，首先需討論如何求

5、出方程（5-5）的兩個線性無關的特解．猜想方程（5-5）有形如的解，其中為待定常數．將代入該方程，得23，由于，所以只要滿足方程（5-7）即當是方程（5-7）的根時，函數就是方程（5-5）的解．定義5.6方程（5-7）稱為方程（5-5）的特征方程．特征方程的根稱為特征根．設為特征方程（5-7）的兩個特征根．根據特征根的不同情形，確定方程（5-5）的通解有以下三種情況：（1）若方程（5-7）有兩個不相等的實根，則和是方程（5-5）的兩個線性無關的特解，故方程（5-5）的通解為，其中為任意常數．（2）若方程（5-7）有兩個相等實根，則僅得到一個特解，利用常數變易法可得到與線性無關

6、的另一個特解，故方程（5-5）的通解為，其中為任意常數．（3）若方程（5-7）有一對共軛復根與，則和是方程（5-5）的兩個復數特解．為便于在實數范圍內討論問題，在此基礎上可找到兩個線性無關的實數特解和．故方程（5-5）的通解為，其中為任意常數．由定理5.1可知，以上兩個函數和均為方程（5-5）的解，且它們線性無關．上述依據特征根的不同情形來求二階常系數齊次線性微分方程通解的方法，稱為特征根法．一般步驟：第一步寫出所給微分方程的特征方程；23第二步求出特征根；第三步根據特征根的三種不同情形，寫出通解．（特征根與通解的關系參見表5-1）表5-1特征根與通解的關系特征方程的兩個根微

7、分方程的通解一兩個不相等實根二兩個相等實根三一對共軛復根，例5-11求微分方程的通解．解該方程的特征方程的特征根為，（）．所以，方程的通解為．例5-12求微分方程滿足初始條件，的特解．解該方程的特征方程的特征根為．所以方程的通解為上式對求導，得：將，代入上兩式，解得，．因此，所求特解為．例5-13求微分方程的通解．解該方程的特征方程的特征根為，．所以，方程的通解為．5.3.3二階常系數非齊次線性微分方程定義5.7形如23（5-8）的微分方程，稱為二階常系數非齊次線性微分方程．1.二階常系數非齊次線性微分