彈塑性力學試題

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1、考試科目：彈塑性力學試題班號研班姓名成績一、概念題（1）最小勢能原理等價于彈性力學平衡微分方程和靜力邊界條件，用最小勢能原理求解彈性力學近似解時，僅要求位移函數(shù)滿足已知位移邊界條件。（2）最小余能原理等價于應變協(xié)調(diào)方程和位移邊界條件，用最小余能原理求解彈性力學近似解時，所設的應力分量應預先滿足平衡微分方程和靜力邊界條件。（3）彈性力學問題有位移法和應力法兩種基本解法，前者以位移為基本未知量，后者以應力為基本未知量。二、已知軸對稱的平面應變問題，應力和位移分量的一般解為：abp利用上述解答求厚壁圓筒外面套以絕對剛性的外管，厚壁圓筒承受內(nèi)壓p作用，試求該問題的應力和位移分量的解。解：邊界條件為：時

2、：；。時：；。將上述邊界條件代入公式得：解上述方程組得：則該問題的應力和位移分量的解分別為：POyx三、已知彈性半平面的o點受集中力時，在直角坐標下半平面體內(nèi)的應力分量為：利用上述解答求在彈性半平面上作用著n個集中力構(gòu)成的力系，這些力到所設原點的距離分別為,試求應力的一般表達式。P1OyxP2PiPny1y2yiyna解：由題設條件知，第個力在點（x，y）處產(chǎn)生的應力將為：故由疊加原理，n個集中力構(gòu)成的力系在點（x，y）處產(chǎn)生的應力為：四、一端固定，另一端彈性支承的梁，其跨度為，抗彎剛度為常數(shù)，彈簧系數(shù)為,承受分布荷載作用。試用最小勢能原理導出該梁以撓度形式表示的平衡微分方程和靜力邊界條件。解

3、：第一步：全梁總應變能為：外力做功為：總勢能為：第二步：由最小勢能原理可知：等價于平衡微分方程和靜力邊界條件。（*）其中將其代入（*）式并整理可得：由于當時，，；所以平衡微分方程為：（≤≤）靜力邊界條件為：五、已知空間球?qū)ΨQ問題的一般解為：abqaqb其中是坐標變量，是徑向位移，分別是徑向與切向應力。首先求出空心球受均勻內(nèi)外壓時的解答，然后在此基礎上導出無限大體中有球形孔洞，半徑為，內(nèi)壁受有均勻壓力時的解答。解：（1）相應空心球受均勻內(nèi)外壓時的邊界條件為：：：將上述邊界條件代入得：可解得：故空心球受均勻內(nèi)外壓時的解為：（2）當無限大體中有球形孔洞，半徑為，內(nèi)壁受有均勻壓力時，即在上式中令、、，

4、則可得：六、已知推導以位移分量表示的平衡微分方程。解：由得將上述兩式代入，得到代入得而，故平衡方程可寫成由因為；所以以位移分量表示的平衡微分方程的最終形式為：。七、證明彈性力學功的互等定理（用張量標記）。證明：（1）先證可能功原理考慮同一物體的兩種狀態(tài)，這兩種狀態(tài)與物體所受的實際荷載和邊界約束沒有必然的聯(lián)系。第一狀態(tài)全用力學量（、、）來描述，它在域內(nèi)滿足平衡方程并在全部邊界條件上滿足力的邊界條件：第二狀態(tài)全用幾何量（）來描述。它在域內(nèi)滿足幾何方程且要求全部邊界位移等于域內(nèi)所選位移場在邊界處的值。從而利用力的邊界條件和高斯積分定理，可得利用平衡方程，式（*）右端第一項可化為第二項利用張量的對稱性

5、和幾何方程可改寫成即式（*）成為式（**）即為可能功原理。（2）考慮同一物體的兩種不同真實狀態(tài)，設第一狀態(tài)的體力和面力為和，相應的應力、應變狀態(tài)為；第二狀態(tài)則為、和。由于都是真實狀態(tài)，所以兩個狀態(tài)都同時是靜力可能狀態(tài)和變形可能狀態(tài)，且都滿足廣義虎克定律根據(jù)可能功原理（令s=1、k=2）有對于線彈性體，有彈性張量的對稱性得即積分后（a）（b）兩式的右端相等，相應地左端也應相等，故得到八、證明受均勻內(nèi)壓的厚壁球殼，當處于塑性狀態(tài)時，用Mises屈服條件或Tresca屈服條件計算將得到相同的結(jié)果。證明：1、厚壁球殼的彈性應力分布（采用球坐標系）平衡方程：幾何方程：，物理方程：，特征方程為：解得：引入

6、邊界條件：，可得：最大周向拉應力為：2、塑性分析Mises屈服準則：Tresca屈服準則：在球坐標下，球?qū)ΨQ厚壁球殼內(nèi)部無剪應力，故、、即為三個主應力，有對稱性可知=，代入兩屈服準則便可得到相同的形式：，故原結(jié)論得證。