《靜態(tài)電磁場(chǎng)靜電場(chǎng)》PPT課件

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1、2.6鏡像法鏡像法的實(shí)質(zhì)是以一個(gè)或多個(gè)位于場(chǎng)域邊界外虛設(shè)的鏡像(等效)電荷替代實(shí)際邊界上未知的較為復(fù)雜的電荷分布，將原來(lái)具有邊界的非均勻空間變換成無(wú)限大均勻媒質(zhì)的空間，從而使計(jì)算過(guò)程得以簡(jiǎn)化。根據(jù)唯一性定理可知，這些等效電荷的引入必須維持原問(wèn)題邊界條件不變，以保證原場(chǎng)域中的靜電場(chǎng)分布不變。通常這些等效電荷位于鏡像位置，故稱鏡像電荷，由此構(gòu)成的分析方法即稱為鏡像法。2.6.1對(duì)無(wú)限大接地導(dǎo)電平面的鏡像點(diǎn)電荷情況：設(shè)有一點(diǎn)電荷q位于距無(wú)限大接地導(dǎo)電平面上方h處，其周圍介質(zhì)的介電常數(shù)為?，如圖所示。顯然，電位函數(shù)在場(chǎng)域內(nèi)滿足如下邊

2、值問(wèn)題?2?=0(除去點(diǎn)電荷所在點(diǎn))邊界條件為?

3、z=0=0(a)無(wú)限大接地導(dǎo)電平面上的點(diǎn)電荷(b)點(diǎn)電荷的鏡象圖點(diǎn)電荷對(duì)無(wú)限大接地導(dǎo)電平面的鏡象可以設(shè)想，在場(chǎng)域邊界外引入一個(gè)與點(diǎn)電荷q呈鏡像對(duì)稱的點(diǎn)電荷q?=-q，并將原來(lái)的導(dǎo)體場(chǎng)域由介電常數(shù)為?的介質(zhì)所替換。這樣，原場(chǎng)域邊界面(z=0)上的邊界條件?=0保持不變，而對(duì)應(yīng)的邊值問(wèn)題被簡(jiǎn)化為同一均勻介質(zhì)?空間內(nèi)兩個(gè)點(diǎn)電荷的電場(chǎng)計(jì)算問(wèn)題。根據(jù)唯一性定理可知，其解答有效區(qū)域僅限于圖示上半部分介質(zhì)場(chǎng)域。應(yīng)用鏡像法，得待求電位為無(wú)限大接地導(dǎo)電平面上的感應(yīng)電荷的面密度分布為式中負(fù)號(hào)表示

4、感應(yīng)電荷與點(diǎn)電荷q的極性相反。對(duì)感應(yīng)電荷作面積分，得上式表明鏡象電荷q?確實(shí)等效了無(wú)限大接地導(dǎo)電平面上的全部感應(yīng)電荷。此外，上述方法很容易推廣到圖示的由半無(wú)限大導(dǎo)電平面形成的劈形邊界且其夾角為?的整數(shù)分之一的情況。如圖所示夾角為?/3的導(dǎo)電劈可以引入5個(gè)鏡象電荷，以保證劈形邊界電位為零的邊界條件。Dq-q-q-qqq?=?/3圖導(dǎo)電劈的鏡象法線電荷情況：圖示線電荷?及其鏡像電荷如圖示。由高斯定理得P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為圖線電荷的鏡象(a)線電荷對(duì)無(wú)限大接地平面(b)線電荷的鏡象-??+???oyP(x,y)介質(zhì)?0導(dǎo)體xb?1DD

5、(-b,0)yP(x,y)?0x+??1?0(b,0)?2e?2e?1o現(xiàn)任取Q點(diǎn)為電位參考點(diǎn)，則P點(diǎn)電位為設(shè)在無(wú)限大接地導(dǎo)電平面上，即?1=?2時(shí)，?=0，即電位參考點(diǎn)Q應(yīng)選在接地導(dǎo)電平面上，所以C=0。由上式，場(chǎng)中任意點(diǎn)電位為由上式，可以進(jìn)一步獲得其等位線分布。按等位線定義有?2/?1=K，平方得。對(duì)于每個(gè)等位圓軌跡而言，圓半徑a、圓心到原點(diǎn)的距離h和線電荷至原點(diǎn)的距離b三者間關(guān)系為顯然，上式為直角坐標(biāo)系中圓的方程。所以在xoy平面上，等位線分布是如圖虛線所示的一簇圓。對(duì)應(yīng)于某一給定的K值，圓心坐標(biāo)是整理，得圖一對(duì)線電荷

6、(??)的電場(chǎng)，圓半徑是h2=a2+b2亦即，a2=h2-b2=(h+b)(h-b)這表明，兩線電荷(??)位置對(duì)每個(gè)等位圓的圓心來(lái)說(shuō)，滿足圓的幾何上反演的關(guān)系。此外，當(dāng)P點(diǎn)位于y軸右側(cè)時(shí)，因?2/?1=K>1，?P皆為正值；當(dāng)P點(diǎn)位于y軸左側(cè)時(shí)，則?P皆為負(fù)值。2.6.3．電軸法兩半徑相同的圓柱導(dǎo)體電場(chǎng)：基于線電荷對(duì)無(wú)限大接地導(dǎo)電平面的鏡像分析，我們可以進(jìn)而討論兩同半徑、帶有等量異號(hào)電荷的平行長(zhǎng)直圓柱導(dǎo)體間的電場(chǎng)問(wèn)題。此時(shí)，盡管圓柱導(dǎo)體表面電荷面密度不是常量，但沿軸向單位長(zhǎng)電荷分布(線密度?)是相同的，圓柱導(dǎo)體表面為等位面

7、。若設(shè)想圓柱導(dǎo)體表面與線電荷對(duì)應(yīng)的等位面重合，即可以用等效線電荷計(jì)算圓柱導(dǎo)體外的電場(chǎng)分布，該線電荷就是圓柱導(dǎo)體表面電荷的等效電荷，如圖所示。為表述方便，成這個(gè)線電荷為圓柱導(dǎo)體的等效電軸，這種方法稱為電軸法。(a)同半徑兩線輸電線系統(tǒng)(b)電軸法圖示yxaaho-?+?Dhbb圖電軸法xaahhoy-?+?Dd設(shè)圓柱導(dǎo)體半徑為a，間距為2h，電軸間距為2b。三者之間的關(guān)系為?AaU0ohx?0D圖傳輸線的電場(chǎng)例1：半徑為a的傳輸線平行于地面，傳輸線軸心對(duì)地高度為h，對(duì)地電位為U0，如圖所示。試求：(1)大地上方傳輸線的電場(chǎng)；(

8、2)場(chǎng)域最大電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)的位置及其數(shù)值。[解]：(1)首先，由電軸法確定電軸的位置，得大地上方任意場(chǎng)點(diǎn)P處的電位為由傳輸線表面點(diǎn)A的電位U0，得=>大地上方任意場(chǎng)點(diǎn)P處的電位為(2)顯然，最大場(chǎng)強(qiáng)將出現(xiàn)在導(dǎo)線相距地面最近處，即點(diǎn)A處，有兩半徑不同的圓柱導(dǎo)體電場(chǎng)：如圖所示，設(shè)兩平行長(zhǎng)直圓柱導(dǎo)體半徑分別為a1和a2，對(duì)于圖（a）其軸心距d=h1+h2，對(duì)于圖（b）其軸心距為d=h2-h1(設(shè)a2>a1)。xdya2a1h1o-?(a)平行傳輸線的電軸法圖示h2bb，，+?xya2a1h1o-?(b)偏心同軸電纜的電軸法圖示h2bb+

9、?圖半徑不同圓柱導(dǎo)體的電軸法?????0P(x,y)y?1?2Aox?0D圖同半徑圓柱體電軸法haahbb-?+??可以應(yīng)用電軸法計(jì)算這兩種情況的電場(chǎng)問(wèn)題。其關(guān)鍵問(wèn)題仍然是確定等效電軸的位置。顯然h12=b2+a12，h22=b2+a22,d=h2?h1已知a1、a2和d，聯(lián)立求解上式三個(gè)