資源描述：
《數(shù)值分析3數(shù)值積分與數(shù)值微分》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、第3章數(shù)值積分與數(shù)值微分§3.1插值型求積公式§3.2牛頓——柯特斯求積公式§3.3復化求積法§3.4龍貝格求積公式§3.5高斯求積公式§3.6數(shù)值微分§3.7數(shù)字圖像的導數(shù)與梯度§3.1數(shù)值積分的基本概念1.問題的提出b工程應用中常需要計算定積分。()對于定積分?fxdx，a,]設(shè)fx()在區(qū)間[ab上連續(xù)，F(xiàn)x()是fx()的原函數(shù)，b—)則由NewtonLeibaniz公式有?fxdx()??Fb(F()a雖然用該公式我們已經(jīng)解決了很多理論和應用問題，但還有許多解決不了的問題，因為還會遇到下列一些困難（）1(fx)的原函數(shù)不是初等函數(shù)，1
2、11?x2sinx3如；???edx,,dx1?xdx000x（）2fx()的原函數(shù)的表達式相當復雜性，求值困難，如?1dx?31?x4（）)3(fx不連續(xù)，甚至沒有解析表達式，而只有通過實驗或測量得出的一組離散數(shù)據(jù)；2.數(shù)值積分的基本思想nb定積分定義?f()xdx?lim?f()?ii?xa??0i?0nn????f()?iixA?iif()xii??00基本用fx()在積分區(qū)間[,]ab上某些點處函數(shù)值b思想的線性組合來近似代替定積分?fxdx()，即anb?f()xdx??Afxii()ai?0nb記作If()???fxdx()??Af
3、xiin()If()ai?0yynb求積公式:yf???xIf()???fxdx()??Afxiinyfx?()??If()ai?0求積余項:EfIfIf()(?)(?)求積節(jié)點:xai?[,]bnnf???求積系數(shù):OaAi(相當于權(quán),與有關(guān),與bxfiOa(x)的具體表達式無關(guān))bx?xb例如：n?0(時，?f()xdxAfx??00()bafx?)(0)??矩形公式abba?n=1時，f()xdxAfx???()Afx()[()fa?fb()]??0011a2??梯形公式一般的，在工程應用中，常常要計算加權(quán)的定積分nbIf()???()(
4、)xfxdx??Afxiin()?If()ai?0權(quán)函數(shù)?()x的要求：在(,)ab上?()0x?，并且至多有有限個零點；bk?xx?()(dxk?0,1,2,,)?n存在（主要對有限區(qū)間的要求）a3．需要解決的問題（）衡量求積公式好與壞的標準；1“”“”（）如何構(gòu)造求積公式，即與的確定；2Axii（）誤差估計；3（）求積公式的穩(wěn)定性4問題(1)求積公式“好”與“壞”的標準——代數(shù)精度k定義:如果當fxxk()??(0,1,,)?m時，求積公式準確成立；m?1而當fxx()?時，求積公式不準確成立，那么稱求積公式具有m次代數(shù)精度。k注：①定,義
5、中fxxk()??(0,1,?m)可換為f()xm是定次數(shù)不超過的多項式（等價義）；②通過誤差分析，可以確定用代數(shù)精度能夠衡量求積公式的精確性。且越大，求積公式的誤差的絕對值mEf()n也越小。問題（2）求積公式的構(gòu)造方法方法1待定系數(shù)法nbk將ff()xxkm??(0:)分別代入求積公式??()()xfxdx??Axi()i得：ai?0?AA?????AC01n0?Ax????Ax?AxC?0011nn1?222?AxA????x?AxC0011nn2?????mm????mAxAx?AxC?0011nnmbkCx???()xdx(k0:)m
6、其中k?a。若求積節(jié)點xi(0?:)n給定，方程組i??11?1??A0?C0???????xx?xAC????01n??1?1???????????????mmm????xx?xAC??01n??n?m?有mn??11個方程，個未知數(shù)。當，mn?且x(0in?:)互異時，存在唯一解AA,,?A。in01由此可以唯一確定至少具有n階代數(shù)精度的求積公式nIfni()??Afx()ii?0此方法稱為待定系數(shù)法。hf()xdxA??f()hA??f()0Af()h例試確定求積公式??h?101中的待定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高，并指出所構(gòu)造出的求積公式
7、的代數(shù)精度?。2解:將fx()1,,?xx分別代入公式使其準確成立，??A???AAh2?10114?則有????hA?11hA0??A?11??Ah,Ah033?2223?hA?hA?h?11?3hhh4h故求積公式?fxdx()???f()hhf(0)(?f)??Simpson公式?h33334驗證知：fxx()??代入準確成立，fxx()代入不準確成立。因而該公式具。有3次代數(shù)精度方法2插值法基本思想：根據(jù)fb()[,]xx在an上n?1個相異節(jié)點xi(0?:)的值f()，ii2n構(gòu)造一個次插值多項式nLxaaxax()??????ax，
8、nn012使其滿足Lx()()??fxyi?(0:)n。niii并用L()x近似代替f()x，由此構(gòu)造的求積公式nnbb????()()xfxdx??
