數(shù)值積分與數(shù)值微分

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1、第六章數(shù)值積分與數(shù)值微分第一節(jié)值積分的基本概念7.1.1求積公式與代數(shù)精確度積分中值定理告訴我們,如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),則在積分區(qū)間內(nèi)存在一點(diǎn),使成立。由于的具體位置一般是未知的,因而難以準(zhǔn)確地計(jì)算出。如果能夠提供一種求的算法,相應(yīng)地便得到一種數(shù)值求積方法。若近似地用積分區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值與的算術(shù)平均值替,便導(dǎo)出計(jì)算積分的梯形公式(7.1.1)若近似地用積分區(qū)間中點(diǎn)處的函數(shù)值代替,導(dǎo)出計(jì)算積分的中矩形公式(7.1.2)一般地,所謂數(shù)值求積方法是指，在積分區(qū)間［a,b］上適當(dāng)?shù)剡x取某些節(jié)點(diǎn),然后用加權(quán)平均得到,這樣構(gòu)造出的求積公式為(7.1.3)或?qū)憺?7.1.4)其

2、中,稱為求積節(jié)點(diǎn),權(quán)稱為求積系數(shù),它僅僅與節(jié)點(diǎn)有關(guān),稱為余項(xiàng)。為了保證數(shù)值求積公式的精度,我們自然希望求積公式能夠?qū)ΡM可能多的函數(shù)f(x)都準(zhǔn)確成立,這在數(shù)學(xué)上常用代數(shù)精確度這一概念來說明。定義如果某個(gè)求積公式對(duì)于次數(shù)不超過的一切多項(xiàng)式都準(zhǔn)確成立,而對(duì)某個(gè)次多項(xiàng)式并不準(zhǔn)確成立,則稱該求積公式的代數(shù)精確度為。顯然,梯形公式(7.1.1)與中矩形公式(7.1.2)均具有一次代數(shù)精確度。一般地，欲使求積公式(7.1.3)具有次代數(shù)精確度,只要令它對(duì)于26都準(zhǔn)確成立即可,即要求(7.1.5)(7.1.5)式由個(gè)方程組成，包含有個(gè)節(jié)點(diǎn)以及個(gè)待定的求積系數(shù)。如果我們事先選定并且

3、取，求(7.1.5)可確定，從而使求積公式(7.1.3)至少具有次代數(shù)精確度，如果適當(dāng)選擇及，求解(7.1.5)可能使求積公式(7.1.3)具有次代數(shù)精確度，由此可知，構(gòu)造數(shù)值求積公式實(shí)際上是求與的代數(shù)問題。7.1.2插值型的求積公式設(shè)給定一組節(jié)點(diǎn)，且已知函數(shù)在這些節(jié)點(diǎn)上的值，作插值函數(shù),我們?nèi)。?.1.6）作為積分的近似值，這樣構(gòu)造出的求積公式(7.1.7)稱為插值型的,其中求積函數(shù)通過插值基函數(shù)積分得出(7.1.8)由插值余項(xiàng)定理可知,對(duì)于插值型的求積公式(7.1.7),其余項(xiàng)(7.1.9)其中，與有關(guān)，對(duì)于次數(shù)的多項(xiàng)式，其余項(xiàng)等于0，因而插值型求積公式(7

4、.1.7)至少具有次代數(shù)精確度；反之，如果求積公式(7.1.7)至少具有次代數(shù)精確度，此時(shí)它對(duì)于插值基函數(shù)應(yīng)準(zhǔn)確成立，即注意到，因而式(7.1.8)成立，即(7.1.7)為插值型的。26綜上所述，我們有下面結(jié)論：定理形如(7.1.7)的求積公式至少有次代數(shù)精確度的充分必要條件是它是插值型的。第二節(jié)牛頓-科茲公式7.2.1牛頓-科茲公式將區(qū)間劃分為等分，步長(zhǎng)為，其分點(diǎn)以此分點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)構(gòu)造出的插值型求積公式（7.2.1）稱為科茲公式(Newton-Cotes)公式，其中（7.2.2）稱為科茲系數(shù)，令,則有（7.2.3）當(dāng)時(shí)，由(7.2.3)式可得科茲系數(shù)為相應(yīng)的求積公

5、式是下列梯形公式（7.2.4）當(dāng)時(shí)，由(7.2.3)式算得科茲系數(shù)為相應(yīng)的求積公式也稱為拋物線公式(或辛普森(Simpson)公式)。26（7.2.5）當(dāng)時(shí)，牛頓-科茲公式為（7.2.6）它也特別稱為科茲公式，其中，表7-1中列出柯特斯系數(shù)表開頭的一部分，從而可以建立相應(yīng)的求積公式。表7-112345678…………從表中我們可以看到，當(dāng)時(shí)，科茲系數(shù)有正有負(fù)，因而，穩(wěn)定性得不到保證，故實(shí)際計(jì)算時(shí)一般不用高階的牛頓—科茲公式。7.2.2誤差估計(jì)作為插值型求積公式，階牛頓—科茲公式的代數(shù)精確度至少是，進(jìn)一步還有定理1當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，階牛頓—科茲公式的代數(shù)精確度至少是。我們只要

6、驗(yàn)證，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，牛頓—科茲公式對(duì)的余項(xiàng)為零即可。26由于,從而有令為正整數(shù),再令，則有因?yàn)楸环e函數(shù)是奇函數(shù)，所以拋物線公式是時(shí)的牛頓—科茲公式，其代數(shù)精確度至少是3，但由于所以拋物線公式的代數(shù)精確度是3。下面給出梯形公式與拋物線公式的誤差估計(jì)。定理2設(shè)函數(shù)在區(qū)間上具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù),則梯形公式(7.2.4)的截?cái)嗾`差為(7.2.4)證明：由定義知，梯形公式的余項(xiàng)為由于在區(qū)間內(nèi)不變號(hào)，而函數(shù)在上連續(xù)，故由積分中值定理，在內(nèi)存在一點(diǎn)，使定理得證。定理3設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有連續(xù)的四階導(dǎo)數(shù)，則拋物線公式(7.2.5)的截?cái)嗾`差為26(7.2.5)證明：對(duì)區(qū)間上的函數(shù)，構(gòu)造次數(shù)

7、的插值多項(xiàng)式,使?jié)M足由于拋物線公式(7.2.5)的代數(shù)精確度是3，所以拋物線公式對(duì)準(zhǔn)確成立。應(yīng)用第5章的插值知識(shí)不難得到故有由于函數(shù)在內(nèi)不變號(hào)，而在上連續(xù)，故應(yīng)用積分中值定理，在內(nèi)存在一點(diǎn),使或定理得證。拋物線公式的插值節(jié)點(diǎn)只比梯形公式多一個(gè)，但其代數(shù)精確度卻比梯形公式高2，它們都是最為常用的數(shù)值積公公式，尤其是拋物線公式邏輯結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，且精度又比較高。對(duì)于求積公式(7.2.6)的積分余項(xiàng)，同理可以證明下面結(jié)論。定理4設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有連續(xù)的6階導(dǎo)數(shù)，則科茲公式(7.2.6)的截?cái)嗾`差為例用階的牛頓-科茲公式計(jì)算積分(精確值為).解：利用梯形公式26利用拋物線公式利