函數(shù)的單調(diào)性及最值

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1、要點梳理1.函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為A,如果對于定義域A內(nèi)某個區(qū)間I上的任意兩個自變量的值x1，x2,當x1f(x2)區(qū)間I(2)單調(diào)區(qū)間的定義若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是______或______,則稱函數(shù)f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴格的)單調(diào)性,_____叫做f(x)的單調(diào)區(qū)間.2.函數(shù)的最

2、值(1)設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為A,如果存在實數(shù)M,滿足:①對于任意的x∈A,都有_________.②存在x0∈A,使得________.則稱M是f(x)的最大值.(2)設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為A,如果存在實數(shù)M,滿足:①對于任意的x∈A,都有_________.②存在x0∈A,使得_________.則稱M是f(x)的最小值.增函數(shù)減函數(shù)區(qū)間If(x)≤Mf(x0)=Mf(x)≥Mf(x0)=M3.判斷函數(shù)單調(diào)性的方法(1)定義法:利用定義嚴格判斷.(2)利用函數(shù)的運算性質(zhì):如若f(x)、g(x)為增函數(shù),則①f(x)+g(x)為增

3、函數(shù).②為減函數(shù)(f(x)＞0).③為增函數(shù)(f(x)≥0).④f(x)·g(x)為增函數(shù)(f(x)＞0,g(x)＞0).⑤-f(x)為減函數(shù).(3)利用復(fù)合函數(shù)關(guān)系判斷單調(diào)性.法則是“________”，即兩個簡單函數(shù)的單調(diào)性相同,則這兩個函數(shù)的復(fù)合函數(shù)為______,若兩個簡單函數(shù)的單調(diào)性相反,則這兩個函數(shù)的復(fù)合函數(shù)為______.(4)圖象法.(5)奇函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有____的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有____的單調(diào)性.(6)導(dǎo)數(shù)法①若f(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),當f′(x)>0時，f(x)為__函數(shù);當f′(x)<0時

4、,f(x)為__函數(shù).②若f(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，當f(x)在該區(qū)間上遞增時,則f′(x)___0;當f(x)在該區(qū)間上遞減時,則f′(x)___0.同增異減增函數(shù)減函數(shù)相同相反增減≥≤基礎(chǔ)自測1.下列函數(shù)中,在區(qū)間(0,2)上為增函數(shù)的是_____.①y=-x+1;②y=③y=x2-4x+5;④解析y=-x+1在R上遞減；y=在R+上遞增;y=x2-4x+5在(-∞,2］上遞減,在［2,+∞)上遞增,在R+上遞減.②2.(2010·鎮(zhèn)江調(diào)研)若函數(shù)f(x)=x2+(a2-4a+1)x+2在區(qū)間(-∞，1]上是減函數(shù),則a的取值范圍是____

5、_.解析∵f(x)是二次函數(shù)且開口向上,∴要使f(x)在(-∞,1］上是單調(diào)遞減函數(shù),則必有≥1,即a2-4a+3≤0,解得1≤a≤3.[1,3]3.函數(shù)y=1-的增區(qū)間為________________.解析函數(shù)圖象如圖所示.(-∞,1)和(1,+∞)4.已知函數(shù)f(x)=x2-2x+3在閉區(qū)間[0,m]上最大值為3,最小值為2,則m的取值范圍為______.解析∵f(x)=(x-1)2+2,其對稱軸為x=1,當x=1時,f(x)min=2,故m≥1,又∵f(0)=3,∴f(2)=3,∴m≤2.綜上,1≤m≤2.［1,2］【例1】已知函數(shù)證明

6、：函數(shù)f(x)在(-1,+∞)上為增函數(shù).證明方法一任取x1,x2∈(-1,+∞),不妨設(shè)x10,典型例題深度剖析又∵x1+1>0,x2+1>0,于是f(x2)-f(x1)=故函數(shù)f(x)在（-1,+∞）上為增函數(shù).方法二求導(dǎo)數(shù)得∵a>1,∴當x>-1時，axlna>0,∴f′(x)>0在（-1，+∞）上恒成立，則f(x)在（-1,+∞）上為增函數(shù).方法三∵a>1,∴y=ax為增函數(shù),又在(-1,+∞)上也是增函數(shù).∴在(-1,+∞)上為增函數(shù).跟蹤練習1(2010·淮陰模擬)證明:f(x)=x2-2x在區(qū)間(1,+∞)上

7、是增函數(shù).證明方法一設(shè)x1,x2是區(qū)間(1,+∞)上的任意兩個值,且x1x1,∴x2-x1>0.又∵x1、x2∈(1,+∞),∴x2>x1>1,即有x1+x2>2,∴x1+x2-2>0.∴f(x2)-f(x1)>0,即有f(x2)>f(x1).故f(x)=x2-2x在(1,+∞)上是增函數(shù).方法二利用導(dǎo)數(shù)f′(x)=2x-2=2(x-1).∵x>1,∴f′(x)>0.∴f(x)在(1,+∞)上為增函數(shù).【例2】求函數(shù)f(x)=loga(2x2-

8、5x+3)的單調(diào)區(qū)間.解由2x2-5x+3>0,解得x<1或x>∴函數(shù)的定義域是{x

9、x<1或x>}.令u(x)=2x2-5x+3,由二次函數(shù)的圖象可