第11講 頁碼與數(shù)字問題 奧數(shù),學而思,超常班

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1、2011春季班三年級超常班學而思侯曉琳第十一講頁碼與數(shù)字問題這一講的標題是從形式上定義的，其實本講側(cè)重的是奧數(shù)中七大重點模塊中計數(shù)問題，和數(shù)論模塊中的位值原理。一、枚舉計數(shù)分類枚舉一定要選恰當?shù)捻樞蚝头诸惖臉藴什拍懿恢夭宦?。本講的例1側(cè)重的是分類枚舉，是對加法原理的滲透。補充小題：一本書共250頁，求編碼時需要多少個數(shù)碼？分析與答：由于本書的頁碼有一位數(shù)、兩位數(shù)、三位數(shù)；而幾位數(shù)就需要幾個數(shù)碼。故須分類計數(shù)，再相加。一位數(shù)：有9個，共需9×1=9個數(shù)碼；兩位數(shù)：有90個，共需90×2=180個數(shù)碼；三位數(shù)：有250-99=151個，共需151×3=453個數(shù)碼；共需

2、9+180+453=642個數(shù)碼。【記住規(guī)律：一位數(shù)：1~9，有9個；兩位數(shù)：10~99，有99-10+1=90個，或99-9=90；三位數(shù)：100~999，有999-100+1=900個，或999-99=900個；四位數(shù)：9000個；……】例1：給一本書編碼，一共用了723個數(shù)字，這本書一共用多少頁？分析與答：剛才例子是正著問，此題倒著問。邊嘗試邊計算：一位數(shù)：有9個，共計用去9個數(shù)碼；兩位數(shù)：有90個，共需90×2=180個數(shù)碼；三位數(shù)：有900個，共需900×3=2700個數(shù)碼；而此題只有723個數(shù)碼，多于9+180，小于9+180+2700，說明數(shù)的頁數(shù)是三

3、位數(shù)。一位數(shù)和兩位數(shù)共計用去9+180=189個數(shù)碼，還剩723-189=534個數(shù)碼給三位數(shù)用，每個三位數(shù)用3個數(shù)碼，則還有534÷3=178個三位數(shù)，第178個三位數(shù)是99+178=277，故本書有277頁。學案1：一本書的頁碼，在印刷時必須用198個鉛字，自這一本書的頁碼中數(shù)字1出現(xiàn)多少次？分析與答：此題是在例1的基礎上再加深一步。要想求1出現(xiàn)的次數(shù)，必須知道本書有多少頁，這就完全轉(zhuǎn)化成利1。一位數(shù)和兩位數(shù)共計用去9+180=189個數(shù)碼，還剩198-189=9個數(shù)碼給三位數(shù)用，每個三位數(shù)用3個數(shù)碼，2011春季班三年級超常班學而思侯曉琳則還有9÷3=3個三位

4、數(shù)，第3個三位數(shù)是102，故本書有102頁。那么本題轉(zhuǎn)化為：一本書有102頁，問1出現(xiàn)多少次？即相當于問：1~102里1出現(xiàn)的次數(shù)。數(shù)少時可以按由小到大的順序枚舉，即便如此，也很少有孩子能一次想全。因此，為使計數(shù)不重不漏，我們一定要按照一定的順序枚舉。本題來說最好的枚舉順序我認為是這樣的：最多有3位數(shù)，因此，1如果出現(xiàn)一定是在個位、十位、或百位。所以我們把個、十、百位的1分類計數(shù)，然后再相加。個位1：1,11,21,31，……，101。有11個；十位1：10，11,12，……，19。。有10個；百位1：100,101,102。有3個。1出現(xiàn)24次。例1改編：給一本書

5、編碼，一共用了723個數(shù)字，這本書1出現(xiàn)多少次？分析與答：同例1，先求出本書有277頁。相當于問1~277里1出現(xiàn)幾次。個位1：上題中數(shù)較少我們雖分類枚舉，但每一類，還是一一數(shù)出來。個位1還可這樣來求，每連續(xù)10個數(shù)，在個位出現(xiàn)一次1，277÷10=27……7。10個一組分成27組還余下7個數(shù)?！荆?~10）（11~20）（21~30）……（261~270）余下271~277?！棵拷M中有1個個位1,27組共27個，余下數(shù)字中271也有一個。故個位1共有27+1=28個；十位1：10~19,110~119,210~219，共3×10=30個；百位1：100~199，共

6、100個。共28+30+100=158個。二、計數(shù)和數(shù)論的綜合題例2：（1）1~3998這些自然數(shù)中，有多少個能被4整除？分析與答：【最簡單的方法是找規(guī)律，除以幾，余數(shù)就有幾種可能，如除以4，余數(shù)可能0~3，共四中，連續(xù)自然數(shù)（或等差數(shù)列）除以同一個數(shù)余數(shù)肯定成周期，周期為除數(shù)】123456789……除以4余數(shù)123012301……周期為4,3998÷4=999……2，余下的2個為1和2，因此能被4整除的共999個。注意：在這個范圍內(nèi)被4整除的和除以4余3的有999個；除以4余1的和除以4余2的都有999+1=1000個。改編小題：1234~3998這些自然數(shù)中，有

7、多少個能被4整除？分析與答：1234~3998共有3998-1234+1=2765個數(shù)。123412351236123712381239124012411242……除以4余數(shù)230123012……周期為4,2765÷4=691……1，余下的一個是2，因此能被4整除的有691個。注意：在這個范圍內(nèi)被4整除的、除以4余3以及除以4余1的有691個；除以4余2的都有691+1=692個。2011春季班三年級超常班學而思侯曉琳例2：（2）1~3998這些自然數(shù)中，有多少個各位數(shù)字和能被4整除？分析與答：一個數(shù)除以N，余數(shù)可能為0~N-1，共計N種情況。一個數(shù)除以4，余數(shù)