命題及其關系、充分條件與必要條

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1、要點梳理1.命題的概念在數(shù)學中用語言、符號或式子表達的,能夠________的陳述句叫做命題.其中________的語句叫真命題,________的語句叫假命題.§1.2命題及其關系、充分條件與必要條件基礎知識自主學習判斷真假判斷為真判斷為假2.四種命題及其關系(1)四種命題(2)四種命題間的逆否關系命題表述形式原命題若p,則q逆命題__________否命題___________逆否命題___________若q,則p(3)四種命題的真假關系①兩個命題互為逆否命題,它們有____的真假性;②兩個命題互為逆命題或互為否命題,它們的真假性________.3.

2、充分條件與必要條件(1)如果pq,則p是q的________,q是p的________;(2)如果pq,qp,則p是q的________.4.特別注意:命題的否命題是既否定命題的條件,又否定命題的結論;而命題的否定是只否定命題的結論.相同沒有關系充分條件必要條件充要條件基礎自測1.有下列四個命題:①“若x+y=0,則x、y互為相反數(shù)”的逆命題;②“若a>b,則a2>b2”的逆否命題;③“若x≤-3,則x2+x-6>0”的否命題;④“若ab是無理數(shù),則a、b是無理數(shù)”的逆命題.其中真命題是____.解析①正確,②錯,③錯,在④中,令則ab=2是有理數(shù),故

3、④錯.①2.（2009·靖江調研）“x>1”是“x2>x”的___________條件.解析x>1x2>x,x2>xx>1.3.(2009·蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市模擬)已知集合A={x

4、x>5},集合B={x

5、x>a},若命題“x∈A”是命題“x∈B”的充分不必要條件,則實數(shù)a的取值范圍是____.解析由題意可得A是B的真子集,故a<5為所求.a<5充分不必要4.(2010·南通模擬)已知a,b為不共線的向量，設條件M:b⊥(a-b);條件N:對一切x∈R，不等式

6、a-xb

7、≥

8、a-b

9、恒成立.則M是N的_____條件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充

10、要”、“既不充分又不必要”)解析構造直角三角形OAB,AB⊥OB,其中a=,b=,xb=,則a-b=，當點D與點B不重合時,由斜邊大于直角邊得

11、a-xb

12、>

13、a-b

14、,當點D與點B重合時

15、a-xb

16、=

17、a-b

18、,反之也成立.充要【例1】(2010·宿遷調研)判斷命題“若a≥0,則x2+x-a=0有實根”的逆否命題的真假.可先寫出該命題的逆否命題,再判斷其真假性;也可以利用命題間的關系,證明其等價命題間的真假性；還可以利用充要條件與集合的包含關系、相等關系解決.解方法一寫出逆否命題,再判斷其真假.原命題:若a≥0,則x2+x-a=0有實根,逆否命題:若x2+x

19、-a=0無實根,則a<0,典型例題深度剖析分析判斷如下:∵x2+x-a=0無實根,∴Δ=1+4a<0,∴“若x2+x-a=0無實根,則a<0”為真命題.方法二利用命題之間的關系:原命題與逆否命題同真同假(即等價關系)判斷.∵a≥0,∴4a≥0,∴4a+1>0,∴方程x2+x-a=0的判別式Δ=4a+1>0,∴方程x2+x-a=0有實根,故原命題“若a≥0,則x2+x-a=0有實根”為真命題.又因原命題與其逆否命題等價,所以“若a≥0，則x2+x-a=0有實根”的逆否命題為真命題.方法三利用充要條件與集合的包含、相等關系判斷.命題p:a≥0,q:x2+x-a=

20、0有實根,∴p:A={a∈R

21、a≥0},q:B={a∈R

22、方程x2+x-a=0有實根}={a∈R

23、a≥}.即AB,∴“若p則q”為真,∴“若p,則q”的逆否命題“”為真.∴“若a≥0,則x2+x-a=0有實根”的逆否命題為真.方法四設p:a≥0,q:x2+x-a=0有實根,則p:a<0,q:x2+x-a=0無實根,∴p:A={a∈R

24、a<0},q:B={a∈R

25、方程x2+x-a=0無實根}={a∈R

26、a<}.∵BA,∴“”為真,即“若方程x2+x-a=0無實根,則a<0”為真.∴“若a≥0,則x2+x-a=0有實根”的逆否命題為真.跟蹤練習1(2008·

27、廣東改編)命題:“若函數(shù)f(x)=logax(a>0且a≠1)在其定義域內是減函數(shù),則loga2<0”的逆否命題是____________________________________________________________.若loga2≥0,則函數(shù)f(x)=logax(a>0且a≠1)在定義域內不是減函數(shù)【例2】指出下列命題中,p是q的什么條件(在“充分不必要條件”、“必要不充分條件”、“充要條件”、“既不充分又不必要條件”中選出一種作答).(1)在△ABC中,p:∠A=∠B,q:sinA=sinB;(2)對于實數(shù)x、y,p:x+y≠8,q:x≠

28、2或y≠6;(3)非空集合A、B中,p:x∈A∪B,