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1、第四章連續(xù)信號與系統(tǒng)的復(fù)頻域分析拉普拉斯變換是分析連續(xù)信號與系統(tǒng)的一種好方法。線性時不變系統(tǒng)方法的回顧：時域分析法：卷積積分只能求解零狀態(tài)響應(yīng)變換域分析法：1.傅氏變換分析法：思想方法是把時間變量函數(shù)變換到變換域中的某一變量的函數(shù)。它們之間的橋梁是傅氏變換的時域卷積定理。分析的實質(zhì)：(1)是將激勵信號分解成某種基本的單元信號；(2)求基本單元信號通過系統(tǒng)的響應(yīng)；(3)最后疊加起來求得總的響應(yīng)。卷積分析法的單元信號是沖激函數(shù)；傅氏變換分析法的單元信號是虛指函數(shù)。傅氏變換的不足：(2)求傅氏反變換有時比較麻煩；傅氏變換分析法的優(yōu)點：物理意義明
2、確，也是信號分析的有效工具。(1)要求信號滿足狄里赫利條件(滿足絕對可積條件)。使一般周期信號，階躍函數(shù)等只能雖借助于廣義函數(shù)求得傅氏變換，由于頻域中出現(xiàn)沖激函數(shù)，使計算帶來困難；(3)只能求解零狀態(tài)響應(yīng)。下面引出2.拉普拉斯變換（簡稱拉氏變換）它的定義方法有很多，這里為了強化它的物理意義，可以看作一種廣義的傅氏變換。將頻域擴展為復(fù)頻域。4-1拉普拉氏變換4-1-1從傅氏變換到拉氏變換信號不滿足絕對可積條件的原因是解決的方法：一.引進廣義函數(shù)(傅氏變換)二.拉氏變換(無需引進廣義函數(shù))若不滿足狄里赫利條件，我們?yōu)榱四塬@得變換域中的函數(shù)，人
3、為地用一個實指函數(shù)去乘。只要取得合適，很多函數(shù)(幾乎所有常用的函數(shù))都可以滿足絕對可積的條件。稱為衰減因子；稱為收斂因子。一.求的傅氏變換：顯然，可表示成記為上兩式稱一對拉普拉斯變換式，正變換，反變換其反變換，為拉氏變換擴大了信號的變換范圍。變換域的內(nèi)在聯(lián)系時域函數(shù)頻域函數(shù)時域函數(shù)復(fù)頻域函數(shù)二.單邊拉氏變換由于1.實際信號都是有始信號，即或者只需考慮的部分；2.我們觀察問題總有一個起點。此時積分下限用目的是把時出現(xiàn)的沖激包含進去，這樣，利用拉氏變換求解微分方程時，可以直接引用已知的初始狀態(tài)，但反變換的積分限并不改變。以后只討論單邊拉氏變換
4、由于我們重點討論單邊拉氏變換，所以有和的拉氏正變換是一樣的。反之，已知求拉氏反變換式，也無法求得到時的表達式。如1和的拉氏變換是一樣的。單邊拉氏變換的優(yōu)點：(1)不僅可以求解零狀態(tài)響應(yīng)，而且可以求解零輸入響應(yīng)或全響應(yīng)。(2)單邊拉氏變換自動將初始條件包含在其中了；而且，只需要了解時的情況就可以了。(3)時間變量的取值范圍為,復(fù)頻域變量的取值范圍為復(fù)頻面(平面)的一部分。平面當(dāng)時，絕對收斂。的信號，其拉氏變換中一定沒有沖激函數(shù)。(4)任何可以拉氏變換(三)拉氏變換的收斂域是否一定滿足，還要看的性質(zhì)與的相對關(guān)系通常把使?jié)M足絕對可積條件的值的范
5、圍稱為拉氏變換的收斂域(只講單邊拉氏變換的情況)信號乘以收斂因子后，有可能滿足絕對可積的條件。如：有始有終的能量信號按指數(shù)規(guī)律增長的信號，如比指數(shù)信號增長的更快的信號，如找不到，則此信號不存在拉氏變換。滿足上述條件的最低限度的值，稱為。(絕對收斂橫坐標(biāo))。周期信號是功率信號單邊拉氏變換的收斂域是復(fù)平面(s)內(nèi)，Re(s)=區(qū)域單邊拉氏變換的函數(shù)一般均滿足指數(shù)階的條件，且總存在收斂域，一般非特別說明，不再標(biāo)注收斂域。凡增長速度不超過指數(shù)函數(shù)的函數(shù)，都有拉氏變換。我們稱這類函數(shù)為指數(shù)階函數(shù)。即指數(shù)階函數(shù)均可以用乘以一個的方法將其分散性壓下去。
6、凡指數(shù)階函數(shù)都有拉氏變換。(四)變換域的內(nèi)在聯(lián)系1.傅氏級數(shù)：復(fù)振幅單元信號:表現(xiàn)在復(fù)平面虛軸上的離散頻譜。分量之和，由歐拉公式為一個余弦函數(shù)。(等幅振蕩)2.傅氏變換：頻譜密度單元信號:表現(xiàn)在復(fù)平面虛軸上的連續(xù)頻譜。分量之和，由歐拉公式為一個余弦等幅振蕩。幅度為為無限小量。3.拉氏變換：復(fù)頻譜密度單元信號:表現(xiàn)在復(fù)平面上是一個區(qū)域的面譜。分量之和，由歐拉公式為一個變幅余弦振蕩。幅度為為無限小量。由當(dāng)取值不同，一個信號可以分解為可能是增幅的、減幅的或等幅的余弦振蕩。拉氏變換唯一的缺點就在于其物理意義不明確。(很難想象)4-2.典型信號的拉
7、普拉斯變換1.指數(shù)信號由此，可導(dǎo)出一些常用的函數(shù)的拉氏變換(這里無任何限止)(b)單邊正弦信號(c)單邊余弦信號(d)單邊衰減或增長的正弦信號即(e)單邊衰減或增長的余弦信號(f)單邊雙曲正弦信號單邊雙曲余弦信號2.t的正冪信號(n為正整數(shù))由定義：對上式進行分部積分，令可見：依次類推：特別是n=1時，有3.沖激函數(shù)根據(jù)沖激函數(shù)作為廣義函數(shù)的定義故即小結(jié)：(拉氏變換有三類情況)第一類：增長的指數(shù)信號(如雙曲函數(shù)等)只有拉氏變換而無付氏變換第二類：拉氏變換、付氏變換都存在，且如衰減的指數(shù)信號：第三類：拉氏變換,付氏變換都存在，但不滿足第二類
8、。如的傅氏變換拉氏變換作業(yè)：4-1(3)4-2(a)4-3(3)
