固體物理電子教案31一維晶格振動

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1、第一節(jié)一維晶格的振動3.1.1一維單原子鏈的振動3.1.2一維雙原子鏈(復式格子)的振動本節(jié)主要內(nèi)容:3.1一維晶格的振動3.1.1一維單原子鏈的振動1.振動方程及其解(1)模型：一維無限長的單原子鏈，原子間距(晶格常量)為a，原子質(zhì)量為m。第n個原子第n-2個原子第n-1個原子第n+1個原子第n+2個原子aXn-2Xn-1XnXn+1Xn+2用xn和xk分別表示序號為n和k的原子在t時刻偏離平衡位置的位移，用xnk=xn-xk表示在t時刻第n個和第k個原子的相對位移。第n個原子第n-2個原子第n-1個原子第n+1個原子第n+2個原子aXn-2Xn-1XnXn+1Xn+2(2)振動方程和解平

2、衡時，第k個原子與第n個原子相距為兩個原子間的互作用勢能，平衡時為，t時刻為nkx第n個與第k個原子間的相互作用力:振動很微弱時，勢能展開式中忽略掉（?r）二次方以上的高次項，只保留到(?r)2項---簡諧近似。(忽略掉作用力中非線性項的近似---簡諧近似。)得:彈性恢復力系數(shù)原子的振動方程:只考慮最近鄰原子間的相互作用，且恢復力系數(shù)相等：給出試探解：原子都以同一頻率?，同一振幅A振動,相鄰原子間的位相差為aq。晶格中各個原子間的振動相互間都存在著固定的位相關系,即原子的振動形成了波，這種波稱為格波。色散關系(晶格振動譜)將試探解代入振動方程得振動頻率:推導略給出試探解:由色散關系式可畫圖如

3、下:2.色散關系?是波矢q的周期性函數(shù),且?(-q)=?(q)。?0?m且故取簡約布里淵區(qū)且3.玻恩---卡門周期性邊界條件及波矢q的取值(1)玻恩---卡門周期性邊界條件設在實際晶體外，仍然有無限多個完全相同的晶體相連接，各晶體中相對應的原子的運動情況都一樣。晶體中任一個原子，當其原胞標數(shù)增加N（N為晶體中原胞的個數(shù)）后，其振動情況復原。由N個原胞組成的單原子鏈，由玻恩---卡門周期性邊界條件:對于一維布拉維晶格(原胞標數(shù)與原子標數(shù)相同):整數(shù)(2)波矢q的取值波矢也只能取N個不同的值。(共N個值)晶格振動波矢只能取分立的值波矢的數(shù)目(個數(shù))=晶體原胞的數(shù)目4.長波極限:由連續(xù)介質(zhì)波的傳播

4、速度：在長波近似的情況下，晶體可視為連續(xù)介質(zhì)，格波可視為彈性波。例1.求由5個原子組成的一維單原子晶格的振動頻率。設原子質(zhì)量為m，恢復力常數(shù)為?(只考慮近鄰原子間的相互作用)。由玻恩---卡門周期性邊界條件:解:設最近鄰原子間的恢復力系數(shù)為?，則:將試探解代入振動方程得色散關系:S為整數(shù)模型運動方程試探解色散關系波矢q范圍一維無限長原子鏈，m，a，?晶格振動波矢的數(shù)目=晶體的原胞數(shù)B--K條件波矢q取值n-2nn+1n+2n-1amm3.1.2一維雙原子鏈(復式格)的振動1.運動方程和解(1)模型:一維無限長原子鏈，原子質(zhì)量為m和M，且m

5、2a)2n2n-12n+12n+22n-2?mM質(zhì)量為M的原子編號為2n-2、2n、2n+2、···質(zhì)量為m的原子編號為2n-1、2n+1、2n+3、···x2nx2n-1x2n+1x2n+2x2n-2若只考慮最近鄰原子的相互作用，則有：(2)方程和解其他原子位移可按下列原則得出:(1)同種原子周圍情況都相同，其振幅相同；原子不同，其振幅不同。(2)相隔一個晶格常數(shù)2a的同種原子，相位差為2aq。2.色散關系上式看成是以A、B為未知數(shù)的線性齊次方程；若A，B不全為零，必須其系數(shù)行列式為零，即:推導略0(+)-----光學支格波，A(-)-----聲學支格波(1)色散曲線折合質(zhì)量由玻恩----

6、卡門邊界條件，設晶體有N個原胞，則：(2)波矢q的取值(共有N個值)一維雙原子鏈，每個原胞有兩個原子，晶體的自由度數(shù)是2N。由N個原胞組成的一維雙原子鏈，波矢的數(shù)目為N，頻率的數(shù)目為2N，格波(振動模式)數(shù)目為2N。晶格振動波矢的數(shù)目=晶體的原胞個數(shù)晶格振動頻率(振動模式)的數(shù)目=晶體中原子的自由度數(shù)3.聲學波和光學波在長波近似的情況下，聲學支格波與彈性波的情況類似。(1)當波矢q0時,推導略(2)相鄰原子的振幅之比對于聲學支格波:聲學支格波，相鄰原子都是沿著同一方向振動的。長聲學波，相鄰原子的位移相同，原胞內(nèi)的不同原子以相同的振幅和位相作整體運動。因此，可以說，長聲學波代表了原胞質(zhì)心的運動

7、。對于光學波:光學支格波，相鄰原子振動方向是相反的。長光學波，原胞的質(zhì)心保持不動。所以定性地說，長光學波代表原胞中兩個原子的相對振動。光學支格波，相鄰原子振動方向是相反的。聲學支格波，相鄰原子振動方向是相同的。可以證明，q=?/2a時，在聲學支格波上，質(zhì)量為m的輕原子保持不動；在光學支格波上，質(zhì)量為M的重原子保持不動。例2:一維無限長原子鏈，原子質(zhì)量為m和M，且m