數(shù)學(xué)歸納法教案（張曉斌）

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1、《數(shù)學(xué)歸納法及應(yīng)用舉例》第一課教學(xué)設(shè)計重慶市教育科學(xué)研究院張曉斌教學(xué)目標(biāo)：一、知識目標(biāo)1．了解歸納法的意義.2．理解數(shù)學(xué)歸納法的實質(zhì)，掌握數(shù)學(xué)歸納法證題的兩個步驟，初步會用數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)正整數(shù)的命題.二、能力目標(biāo)1．通過探索關(guān)于正整數(shù)命題的證明方法的過程，讓學(xué)生體驗嚴(yán)密的邏輯推理的數(shù)學(xué)思想.2．學(xué)生經(jīng)歷對問題的探究過程，讓學(xué)生感知科學(xué)的研究方法，并培養(yǎng)學(xué)生提出問題、思考問題、分析問題、解決問題的能力.三、情感目標(biāo)1．在學(xué)生經(jīng)歷問題的探究過程中，激勵學(xué)生的好奇心和求知欲.2．在教學(xué)中，通過師生、學(xué)生之間的平等交流，使學(xué)生感受民主的氛圍和團結(jié)合作的精神.教學(xué)重難點

2、：一、重點1．初步理解數(shù)學(xué)歸納法的原理.2．初步會用數(shù)學(xué)歸納法證明簡單的數(shù)學(xué)命題.二、難點1．對數(shù)學(xué)歸納法原理的理解.2．為何要利用假設(shè)證明n=k+1時命題正確.教學(xué)過程：一、創(chuàng)設(shè)情景師：同學(xué)們，我們先一起來分析三個問題情景：情景一：從麻布口袋里（無放回）逐一摸球.師演示：摸出第一個球，紅色；第二個球，紅色；第三個球，紅色；第四個球，紅色.師：根據(jù)這四個特殊事例，你能得出什么猜想？生甲：全為紅色.生乙：不一定.師演示：摸出一個白色球.師：說明由有限個特殊事例歸納出的結(jié)論不一定正確.情景二：給出一個數(shù)列的通項公式.板書：an=(n2-5n+5)2.學(xué)生分組計算：a1

3、,a2,a3,a4.師：請同學(xué)們猜想an=?(n∈N*).生齊答：an=1.師生一起計算：a5=25，否定結(jié)論.情景三師：請同學(xué)們回憶等差數(shù)列通項公式是如何推導(dǎo)的？生：根據(jù)前四項的規(guī)律，歸納出來的.板書：觀察等差數(shù)列的前幾項：6你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？試用、和表示.生：an=a1+（n-1）d(n∈N*).師：以上三個情景說明一個什么問題？（師生共同觀察、分析、討論）生甲：結(jié)論有的正確，有的不正確.生乙：都是由幾個事例得出的結(jié)論，有的正確，有的不正確.師：還有什么補充？生丙：這些問題與自然數(shù)有關(guān).生?。哼@種由有限個事例推出一般結(jié)論的方法不能作為證明方法.師：象這樣由有限

4、多個特殊事例歸納出一般結(jié)論的方法叫歸納法（板書歸納法），得出的結(jié)論不一定正確,也不能作為論證方法.師：用歸納法可以幫助我們從特殊事例中發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，但得出的一般結(jié)論并不一定可靠.再如法國著名數(shù)學(xué)家費爾馬曾由得到均為質(zhì)數(shù)而推測：為自然數(shù)時，都是質(zhì)數(shù)，但這一結(jié)論是錯誤的.因為瑞士大數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)，時，是一個合數(shù)：.師：既然由歸納法得到的結(jié)論不一定可靠，那么，就必須想辦法對所得到的結(jié)論進行證明.對于由歸納法得出的某些與正整數(shù)有關(guān)的命題，能否通過一一驗證的辦法來加以證明呢？生：不能.因為這類命題中所涉及的正整數(shù)有無限多個，所以無法一個一個加以驗證.二、探索發(fā)現(xiàn)師：前面學(xué)習(xí)

5、的等差數(shù)列通項公式也是由有限個特殊事例歸納出來的，也可能不正確.一旦錯誤，我們已經(jīng)建立的數(shù)學(xué)大廈必將倒塌，必須對它進行搶救性證明.如何證明這類有關(guān)正整數(shù)的命題呢？生甲：一一列出各項.生乙：不可能全部列出.師：人精力有限，不可能也不必要一一列出各項,我們一起來探索新的證明方法.我們將采用遞推的辦法解決這個問題.同學(xué)們在電視中可能看到過“多米諾”骨牌的游戲，由于骨牌之間特殊的排列方法，只要推到第一塊骨牌，第二塊就會自己倒下，接著第三塊就會倒下，第四塊也會倒下，……如此傳遞下去，所有的骨牌都會倒下.這種傳遞相推的方法，就是遞推.師：要使n塊多米諾骨牌全體依次倒下，須滿足

6、什么條件？生甲：擺放距離要恰當(dāng).6生乙：牌的大小、重量要合適.師：我們只研究數(shù)學(xué)方面的條件，應(yīng)找出數(shù)學(xué)模型.生丙：第一塊倒下，后面接著倒下.師：總結(jié)同學(xué)的發(fā)言，需要條件如下：（1）第一塊要倒下.（2）當(dāng)前面一塊倒下時，后面一塊必須倒下.再如：前面從一個袋子里第一次摸出的是一個紅球，接著，如果我們有這樣的一個保證：“當(dāng)你這一次摸出的是紅球，則下一次摸出的一定也是紅球”，能否斷定這個袋子里裝的全是紅球？生：能斷定.師：類似地，證明一個關(guān)于正整數(shù)n的命題需要證明哪幾條？（通過學(xué)生充分探索、討論3分鐘）生甲：第一條，n=1時，命題成立；第二條，n取前面一個值成立時，n取后

7、面一個值也成立.師：關(guān)于一個正整數(shù)n的命題，n一定可以取1嗎？生乙：不一定，如多邊形內(nèi)角和定理.師：所以第一條是n取第一個值n0時，命題正確.師：如何用數(shù)學(xué)語言來刻畫n取前面一個值命題成立時，n取后面一個值也成立呢？生丙：n=1命題成立時，n=2命題也成立；n=2命題成立時，n=3命題也成立.以此類推.生丁：證明不完，前面一個n值用一個字母表示.師：對.就用k表示吧.生?。喝舢?dāng)n=k時，命題成立，則n=k+1命題也成立.師：歸納同學(xué)們的意見，總結(jié)如下：板書：第一條：證明當(dāng)n取第一個值n0（如n0=1或2等）時，命題成立.第二條：假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N*，且k≥n0，

8、）時命題成