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1、有限元的性質和收斂性一、有限元解的收斂準則有限單元法作為求解數(shù)學微分方程的一種數(shù)值方法可以認為是里茲法的一種特殊形式，不同在于有限單元法的試探函數(shù)是定義于單元（子域）而不是全域。因此有限元解的收斂性可以與里茲法的收斂性對比進行討論。里茲法的收斂條件是要求試探函數(shù)具有完備性和連續(xù)性，也就是說，如果試探函數(shù)滿足完備性和連續(xù)性要求，當試探函數(shù)的項數(shù)n--->∞時，則Ritz法的近似解將趨近于數(shù)學微分方程的精確解?，F(xiàn)在要研究什么是有限元解的收斂性提法？收斂的條件又是什么？在有限單元法中，場函數(shù)的總體泛函是由單元泛函集成的。如果采用完
2、全多項式作為單元的插值函數(shù)（即試探函數(shù)），則有限元解在一個有限尺寸的單元內可以精確地和真正解一致。但是實際上有限元的試探函數(shù)只能取有限項多項式，因此有限元解只能是真正解的一個近似解答。有限元解的收斂準則需要回答的是，在什么條件下當單元尺寸趨于零時，有限元解趨于真正解。下面仍以含有一個待求的標量場函數(shù)為例，微分方程是：A(φ)=L(φ)+b=0(1.1)相應的泛函是：（1.2）假定泛函∏中包含φ和它的直至m階的各階導數(shù)，若m階導數(shù)是非零的，則近似函數(shù)至少必須是m次多項式。若取p次完全多項式為試探函數(shù)，則必須滿足p≥m，這時及其
3、各階導數(shù)在一個單元內的表達式如下：......（1.３）由上式可見，由于是p次完全多項式，所以它的直至m階導數(shù)的表達式中都包含有常數(shù)項。但單元尺寸趨近于零時，在每一單元內及其直至m階導數(shù)將趨近于它的精確值，即趨近于常數(shù)。因此，每一個單元的泛函有可能趨于它的精確值。如果試探函數(shù)還滿足連續(xù)性要求，那么整個系統(tǒng)的泛函將趨近于它的精確值。有限元解就趨近于精確解，也就是說解是收斂的。從上述討論可以得到下列收斂準則：準則1完備性要求。如果出現(xiàn)在泛函中場函數(shù)的最高階導數(shù)是m階，則有限元解收斂的條件之一是單元內場函數(shù)的試探函數(shù)至少是m次完全
4、多項式。或者說試探函數(shù)中必須包括本身和直至m階導數(shù)為常數(shù)的項。單元的插值函數(shù)滿足上述要求時，我們稱單元是完備的。1至于連續(xù)性的要求，當試探函數(shù)是多項式的情況下，單元內部函數(shù)的連續(xù)性顯然是滿足的，如試探函數(shù)是m次多項式，則單元內部滿足Cm-1連續(xù)性要求。因此需要特別注意的是單元交界面上的連續(xù)性，這就提出另外一個收斂準則。準則2協(xié)調性要求。如果出現(xiàn)在泛函中的最高階導數(shù)是m階，則試探函數(shù)在單元交界面上必須具有Cm-1連續(xù)性，即在相鄰單元的交界面上應有函數(shù)直至m-1階的連續(xù)導數(shù)。當單元的插值函數(shù)滿足上述要求時，我們稱單元是協(xié)調的。簡
5、單的說，當選取的單元既完備又協(xié)調時，有限元解是收斂的，即但單元尺寸趨于零時，有限元解趨于真正解。需要補充指出的是：前面所述有限元解收斂于數(shù)學微分方程精確解的進一步含義。因為數(shù)學微分方程的精確解往往不一定能夠得到，甚至問題的數(shù)學微分方程并未建立（例如對于復雜型式的結構）。同時有限元解中通常包含多種誤差（例如計算機的截斷誤差和舍入誤差），因此有限元解收斂于精確解，在更嚴格意義上說是問題的有限元解的離散誤差趨于零。二、收斂準則的物理意義為了從物理上加深對收斂準則的理解，我們以平面問題為例加以說明。在平面問題中，泛函∏p中出現(xiàn)的是位
6、移u和v的一次導數(shù)，即εx，εy，γxy，因此m=1。收斂準則1要求插值函數(shù)或者位移函數(shù)至少是x，y的一次完全多項式。我們知道位移及其一階導數(shù)為常數(shù)的項是代表與單元的剛體位移和常應變狀態(tài)相應的位移模式。實際分析中，各單元的變形往往包含著剛體位移。因而當單元尺寸趨于無窮小時，各單元的應變也總是趨于常應變。所以完備性的要求由插值函數(shù)所構成的有限元解必須能反映單元的剛體位移和常應變狀態(tài)。若不能滿足上述要求，那么賦予結點以剛體位移（零應變）或者常應變的位移值時，在單元內部將產(chǎn)生非零或非常值的應變，這樣有限元解將不可能收斂于真正解。應
7、該指出，在Bazeley等人開始提出上述收斂準則時，是要求在單元尺寸趨于零的極限情況下滿足完備性收斂準則。如果將此收斂準則用于有限尺寸的單元，將使解的精度得到改進。對于平面問題，協(xié)調性要求是C0連續(xù)性，即要求位移函數(shù)u，v的零階導數(shù)，也就是位移函數(shù)自身在單元交界面上是連續(xù)的。如果在單元交界面上位移不連續(xù)，表現(xiàn)為當結構變形時將在相鄰單元間產(chǎn)生縫隙或重疊，這意味著將引起無限大的應變，這時必然會發(fā)生交界面上的附加應變能補充到系統(tǒng)的應變能中去，但是我們在建立泛函∏p時，沒有考慮這種情況，而只考慮了產(chǎn)生各個單元內部的應變能，因此，倘若
8、邊界上位移不連續(xù)，有限元解就不可能收斂于真正解。可以看到最簡單的3結點三角形單元的插值函數(shù)既滿足完備性要求，也滿足協(xié)調性要求，因此采用這種單元，解是收斂的。應當指出，對于二，三維彈性力學問題，泛函中出現(xiàn)的導數(shù)是一階(m=1)，對近似的位移函數(shù)的連續(xù)性要求僅是C0連續(xù)性，這種只要求函數(shù)自身在
