《維定態(tài)問(wèn)題》PPT課件

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1、不含時(shí)間的薛定諤方程，定態(tài)問(wèn)題由初態(tài)?(x,t0)求?(x,t)一般是很困難的，特例，即位勢(shì)與時(shí)間無(wú)關(guān)，V(r,t)=V(r)（1）不含時(shí)間的薛定諤方程由于H與t無(wú)關(guān)，可簡(jiǎn)單地用分離變數(shù)法求特解。當(dāng)H與t無(wú)關(guān)時(shí)，含時(shí)間的薛定諤方程的特解為：其中。方程被稱為不含時(shí)間的薛定諤方程，或稱為能量本征方程。A.在上述方程中，E實(shí)際上是體系的能量。B.一般而言，上述方程對(duì)任何E值都有非零解。但由于對(duì)波函數(shù)有一定要求（自然條件），以及一些特殊的邊界要求（無(wú)窮大位勢(shì)邊界處等）。這樣能滿足方程的解就只有某些E值。C.根據(jù)態(tài)疊加原理是含時(shí)間的薛定諤方程的一個(gè)特解，也就是，是該體系的一個(gè)可能態(tài)。所以普遍的可能態(tài)

2、一定可表為(非定態(tài))通常稱（其中）為定態(tài)波函數(shù)。（2）定態(tài)：A.定態(tài)定義：具有確定能量的態(tài)，稱為體系的定態(tài)，或者說(shuō)，以波函數(shù)1．體系在初始時(shí)刻（t＝0）處于一定能量本征態(tài)，則在以后任何時(shí)刻，體系都處于這一本征態(tài)上，即。它隨時(shí)間變化僅表現(xiàn)在因子上。3．幾率流密度矢不隨時(shí)間變化。4.任何不含t的力學(xué)量在定態(tài)的平均值不隨時(shí)間變化.5．任何不顯含t的力學(xué)量在定態(tài)中取值的幾率不隨時(shí)間變化。B.定態(tài)的性質(zhì)：2．體系的幾率密度不隨時(shí)間變化。第三章一維定態(tài)問(wèn)題現(xiàn)在從最簡(jiǎn)單的問(wèn)題來(lái)應(yīng)用所得的原理和方程：一維，不顯含時(shí)間的位勢(shì)且位勢(shì)有一定性質(zhì)時(shí)，如則三維問(wèn)題可化為一維問(wèn)題處理。所以一維問(wèn)題是解決三維問(wèn)題的基礎(chǔ)

3、。§3.1一般性質(zhì)設(shè)粒子具有質(zhì)量m，沿x軸運(yùn)動(dòng)，位勢(shì)為，于是有（1）定理1：一維運(yùn)動(dòng)的分立能級(jí)（束縛態(tài)），一般是不簡(jiǎn)并的。簡(jiǎn)并度（degeneracy）：一個(gè)力學(xué)量的某個(gè)測(cè)量值，可在n個(gè)獨(dú)立的（線性無(wú)關(guān)的）波函數(shù)中測(cè)得，則稱這一測(cè)量值是具有n重簡(jiǎn)并度。如某能量本征值有n個(gè)獨(dú)立的定態(tài)相對(duì)應(yīng)，則稱這能量本征值是n重簡(jiǎn)并的。證：假設(shè),是具有同樣能量的波函數(shù)(1)(2)從而得于是(c是與x無(wú)關(guān)的常數(shù))對(duì)于束縛態(tài)（或在有限區(qū)域有某值使），所以c＝0。從而有若不是處處為零，則有注意:ⅰ.分立能級(jí)是不簡(jiǎn)并的，而對(duì)于連續(xù)譜時(shí)，若一端，那也不簡(jiǎn)并。但如兩端都不趨于0（如自由粒子），則有簡(jiǎn)并。ⅱ．當(dāng)變量在允許

4、值范圍內(nèi)（包括端點(diǎn)），波函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，就可能有簡(jiǎn)并存在。（因常數(shù)c≠0）。ⅲ．當(dāng)V(x)有奇異點(diǎn)，簡(jiǎn)并可能存在。因這時(shí)可能導(dǎo)致處處為零。推論：一維束縛態(tài)的波函數(shù)必為實(shí)函數(shù)（可保留一相因子）。證令（都是實(shí)函數(shù)）則但對(duì)束縛態(tài)，沒(méi)有簡(jiǎn)并，所以只有一個(gè)解，因而Rn和In應(yīng)是線性相關(guān)的，所以因此，（2）不同的分立能級(jí)的波函數(shù)是正交的。（1）（2）所以從而證明得。（3）振蕩定理：當(dāng)分立能級(jí)按大小順序排列，一般而言，第n+1條能級(jí)的波函數(shù)，在其取值范圍內(nèi)有n個(gè)節(jié)點(diǎn)（即有n個(gè)x點(diǎn)使，不包括邊界點(diǎn)或∞遠(yuǎn)）。?1(x)?2(x)?3(x)?4(x)(4）在無(wú)窮大位勢(shì)處的邊條件：首先討論V(x)有有限大小的間斷點(diǎn)

5、，由方程即由于存在，即存在，即的導(dǎo)數(shù)存在，所以函數(shù)連續(xù)，也就是波函數(shù)導(dǎo)數(shù)連續(xù)。而在位勢(shì)是無(wú)窮時(shí)又如何呢？設(shè)令,所以，得解要求波函數(shù)有界，所以C＝0，要求波函數(shù)x=0處連續(xù)，且導(dǎo)數(shù)連續(xù)當(dāng)E給定，所以，∴于是，當(dāng),方程有解這表明，在無(wú)窮大的位勢(shì)處，波函數(shù)為0，邊界上要求波函數(shù)連續(xù)，但并不要求再計(jì)及導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性。但，幾率密度和幾率流密度矢總是連續(xù)的?！?.2階梯位勢(shì)：----最簡(jiǎn)單的定態(tài)問(wèn)題(1)當(dāng)令，由波函數(shù)有界,C＝0在x＝0處，波函數(shù)連續(xù)，波函數(shù)導(dǎo)數(shù)連續(xù)，解得,對(duì)E沒(méi)有限制，任何E都可取，即取連續(xù)值。因它不是束縛態(tài)（，并不趨于0），但它不簡(jiǎn)并（因，）。討論：A.處，經(jīng)典粒子不能去的地方，但

6、仍有一定的幾率發(fā)現(xiàn)量子粒子。B．區(qū)域，有沿x方向的平面波和沿x反方向的平面波,且振幅相同，構(gòu)成一駐波。這一駐波，在處為0。x0C.幾率流密度矢：i.透射幾率流密度矢（）jT＝0（因是實(shí)函數(shù)）ⅱ.在區(qū)域，有向右的幾率流密度，即入射幾率流密度矢=iii.在區(qū)域，也有左的幾率流密度，即反射幾率流密度矢=所以，總幾率流密度矢為0。當(dāng)，入射粒子完全被反射回來(lái)，沒(méi)有幾率流流入到區(qū)域中。定義：1.反射系數(shù)，現(xiàn)R=1;2.透射系數(shù)，現(xiàn)T=0。(2)當(dāng),求粒子從左向右方入射的解。令，由初條件，粒子由左向右入射，由于在x=0處位勢(shì)有間斷點(diǎn)，所以，區(qū)域有入射波，也有反射波；但在處，位勢(shì)無(wú)間斷點(diǎn)，所以，只有入射波

7、，無(wú)反射波，因此，C＝0。由波函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)連續(xù)，有得，結(jié)果有討論：在時(shí)，區(qū)域有一沿x方向傳播的平面波，顯然，==。從而得反射系數(shù)=透射系數(shù)=顯然上講內(nèi)容定態(tài)薛定諤方程的特解不含時(shí)間的薛定諤方程，或稱為能量本征方程。態(tài)疊加原理(非定態(tài))定態(tài)的性質(zhì)最簡(jiǎn)單的定態(tài)問(wèn)題—一維定態(tài)問(wèn)題1：一維運(yùn)動(dòng)的分立能級(jí)（束縛態(tài)），一般是不簡(jiǎn)并的。一維束縛態(tài)的波函數(shù)必為實(shí)函數(shù)（可保留一相因子）。2:不同的分立能級(jí)的波函數(shù)是正交的。波函數(shù)的自然條件