資源描述：
《《隱函數(shù)求導(dǎo)法》PPT課件》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、第五節(jié)隱函數(shù)求導(dǎo)法一.一個方程的情形在一元函數(shù)微分學(xué)中,我們接觸過隱函數(shù),學(xué)習(xí)過由方程F(x,y)=0(1)所確定的隱函數(shù)的求導(dǎo)方法(兩邊對x求導(dǎo)).但是形如(1)式的方程并不一定都能確定一個一元函數(shù)y=f(x),例如方程x2+y2+1=0不能確定任何實(shí)函數(shù)y=f(x),(y2=-1-x2)因而,有必要討論一下F(x,y)滿足什么條件時,(1)式能確定一個隱函數(shù),另外,以前的隱函數(shù)求導(dǎo)方法,必須知道F(x,y)的具體表達(dá)式,才能求出y對x的導(dǎo)數(shù).下面我們研究隱函數(shù)存在定理隱函數(shù)存在定理1設(shè)函數(shù)F(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且F(x0,y0)=0,Fy(x0,y0)
2、≠0;則方程(1)在(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個可導(dǎo)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)y=f(x),它滿足條件y0=f(x0),且有利用多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則給于推導(dǎo).把方程(1)所確定的函數(shù)y=f(x)代入(1),得F[x,f(x)]=0.由定理的條件知道它可導(dǎo)在上述的式子對x兩端求導(dǎo),得到定理證明從略.函數(shù)F(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且F(x0,y0)=0,Fy(x0,y0)≠0若F具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則(2)可對x再求導(dǎo),得到y(tǒng)xx例2求由方程2x2+y2=1所確定的隱函數(shù)y=f(x)的一階和二階導(dǎo)數(shù).例3若y=G(x+y),G有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),求yxx隱函數(shù)
3、存在定理1可以推廣到三元及三元以上函數(shù)的情形,現(xiàn)在給出F為三元函數(shù)時,與定理1的類似結(jié)論.數(shù),且F(的函數(shù)z=f(x,y),它滿足條件與(2)類似.我們只推導(dǎo)公式(4).因?yàn)镕[x,y,f(x,y)]=0對上式求x,y的偏導(dǎo)數(shù).得到由于Fz連續(xù),且)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個單值連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù))≠0則方程F(x,y,z)=0在)=0Fz(且有設(shè)函數(shù)F(x,y,z)在點(diǎn)與(2)類似.我們只推導(dǎo)公式(4).因?yàn)镕[x,y,f(x,y)]=0對上式求x,y的偏導(dǎo)數(shù).得到由于Fz連續(xù),且隱函數(shù)存在定理2:設(shè)函數(shù)F(x,y,z)在點(diǎn)(x0,y0.z0)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)
4、數(shù)，且F(x0,y0,z0)=0,則方程F(x,y,z)=0在點(diǎn)（x0,y0,z0)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)z=f(x,y),它滿足條件Z0=f(x0,y0),并且有Fz(x0,y0,z0)≠0,所以存在點(diǎn)(x0,y0,z0)的一個鄰域,在這個鄰域內(nèi)Fz≠0于是例4設(shè)x2+y2+z2=4z,求例5設(shè)z為由方程F(z/x,z/y)=0所確定的x,y的函數(shù),其中F(u,v)為可微二.方程組的情形函數(shù),求隱函數(shù)存在定理3.設(shè)F(x,y,u,v),G(x,y,u,v)在點(diǎn)p(x0,y0,u0,v0)的某一鄰域內(nèi)具有對各變量連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),又F(x0,y0,u0,v0)=0
5、,G(x0,y0,u0,v0)=0,且偏導(dǎo)數(shù)組成的函數(shù)行列式(Jaqcobi)在點(diǎn)p(x0,y0,u0,v0)處不為0,則方程組F=0,G=0在點(diǎn)(x0,y0,u0,v0)的某一鄰域內(nèi)一定能確定一組單調(diào),連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)u=u(x,y),v=v(x,y),它們滿足條件u0=u(x0,y0),v0=v(x0,y0),并有推導(dǎo)F(x,y,u(x,y),v(x,y))=0和G(x,y,u(x,y),v(x,y))=0(1)兩邊對x求偏導(dǎo)數(shù),得到公式的記憶方法如求分子把u換成x,其它不動如求分子把v換成x,其它不動行列式的定義為例2設(shè)函數(shù)x=x(u,v),y=y(u,v)在點(diǎn)(u,v)的某
6、一鄰域內(nèi)連續(xù)且有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),又(1)證明方程組在點(diǎn)(x,y,u,v)的某一鄰域內(nèi)唯一確定一組連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的反函數(shù)u=u(x,y),v=v(x,y)(2)求反函數(shù)u=u(x,y),v=v(x,y)對x,y的偏導(dǎo)數(shù).解(1)把方程組(7)改成下面的形式(7)F(x,y,u,v)=x-x(u,v)=0G(x,y,u,v)=y-y(u,v)=0(2)把方程組(7)所確定的反函數(shù)u=u(x,y),v=v(x,y)代入(7),即得到由隱函數(shù)存在定理3,我們得到結(jié)果.則按假設(shè)我們有例1解:把u,v看成x,y的函數(shù),對方程的兩邊對x求導(dǎo),我們得到把所給方程的兩邊對y求導(dǎo),用同樣的方法在J=x2+y2
7、≠0的條件下可得到把上述恒等式兩邊分別對x求偏導(dǎo)數(shù),得到有些求偏導(dǎo)數(shù)的題目既涉及到復(fù)合函數(shù),又涉及到隱函數(shù).例3設(shè)u=x3y2z2,其中z是由方程x3+y3+z3-3xyz=0確定的隱函數(shù)z=z(x,y),求ux解:
