梁的彎曲變形與剛度計算1

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1、§9–2梁的撓曲線近似微分方程§9-3積分法計算梁的變形§9-5梁的剛度計算及提高梁剛度的措施第9章梁的彎曲變形與剛度計算§9-1工程中的彎曲變形問題§9-6簡單超靜定梁§9-7梁的彎曲應(yīng)變能§9-4疊加法計算梁的變形彎曲構(gòu)件除了要滿足強度條件外,還需滿足剛度條件。如車床主軸的過大彎曲引起加工零件的誤差。9.1工程中的彎曲變形問題9.1工程實際中的彎曲變形問題7-19.1工程實際中的彎曲變形問題度量梁變形后橫截面位移的兩個基本量:撓度和轉(zhuǎn)角撓度(w):橫截面形心(即軸線上的點)在垂直于x軸方向的線位移,稱為該截面的撓度(Deflection)。yxABCw(撓度)C

2、1轉(zhuǎn)角(?):橫截面繞中性軸(即Z軸)轉(zhuǎn)過的角度（或角位移）,稱為該截面的轉(zhuǎn)角(Sloperotationangle)。q(轉(zhuǎn)角)取梁的左端點為坐標原點,梁變形前的軸線為x軸,橫截面的鉛垂對稱軸為y軸,xy平面為縱向?qū)ΨQ平面。9.1工程實際中的彎曲變形問題F撓度和轉(zhuǎn)角符號的規(guī)定：撓度：在圖示坐標系中,向上為正,向下為負。轉(zhuǎn)角：逆時針轉(zhuǎn)向為正,順時針轉(zhuǎn)向為負。yxABCw(撓度)C1q(轉(zhuǎn)角)9.1工程實際中的彎曲變形問題F必須注意:梁軸線彎曲成曲線后,在x軸方向也有線位移。9.1工程實際中的彎曲變形問題yxABCw(撓度)C1q(轉(zhuǎn)角)F但在小變形情況下,梁的撓度遠

3、小于跨長,橫截面形心沿x軸方向的線位移與撓度相比屬于高階微量,可略去不計。撓曲線：梁變形后的軸線稱為撓曲線。撓曲線方程:式中,x為梁變形前軸線上任一點的橫坐標,w為該點的撓度。yxABCw(撓度)C1q(轉(zhuǎn)角)撓曲線9.1工程實際中的彎曲變形問題F撓度與轉(zhuǎn)角的關(guān)系：yxABCw(撓度)C1qq(轉(zhuǎn)角)9.1工程實際中的彎曲變形問題F9.2撓曲線的近似微分方程橫力彎曲時,M和?都是x的函數(shù)。略去剪力對梁的位移的影響,則純彎曲時曲率與彎矩的關(guān)系為由幾何關(guān)系知,平面曲線的曲率可寫作曲線向上凸時：w’’<0,M＜0因此,M與w’’的正負號相同。MMM＜0w’’<0OxyM＞

4、0w’’>0MM曲線向下凸時：w’’>0,M＞0Oxy由于撓曲線是一條非常平坦的曲線,w'2遠比1小,可以略去不計,于是上式可寫成此式稱為梁的撓曲線近似微分方程。(Approximatelydifferentialequationofthedeflectioncurve)稱為近似的原因:(1)略去了剪力的影響;(2)略去了w'2項。再積分一次,得撓度方程上式積分一次得轉(zhuǎn)角方程若為等截面直梁,其抗彎剛度EI為一常量,上式可改寫成式中：積分常數(shù)C1、C2可通過梁撓曲線的邊界條件和變形的連續(xù)性條件來確定。9.3積分法求彎曲變形簡支梁懸臂梁邊界條件(boundarycond

5、ition)ABwA＝0wB＝0ABwA＝0qA＝0ABAB連續(xù)性條件(Continuitycondition)在撓曲線的任一點上,有唯一的撓度和轉(zhuǎn)角。如:不可能不可能c例1：圖示一抗彎剛度為EI的懸臂梁,在自由端受一集中力F作用。試求梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程,并確定其最大撓度wmax和最大轉(zhuǎn)角?max。ABlxxy解：以梁左端A為原點,取直角坐標系,令x軸向右,y軸向上為正。(1)列彎矩方程F(2)列撓曲線近似微分方程并積分(3)確定積分常數(shù)代入式(a)和(b),得：C1＝0,C2＝0ABlxxyF在x＝0處,w＝0在x＝0處,q＝0ABlxxyF(4)建立轉(zhuǎn)角方

6、程和撓度方程將求得的積分常數(shù)C1和C2代入式(a)和(b),得梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程分別為：(5)求最大轉(zhuǎn)角和最大撓度自由端B處的轉(zhuǎn)角和撓度絕對值最大。wmaxqmax所得的撓度為負值,說明B點向下移動;轉(zhuǎn)角為負值,說明橫截面B沿順時針轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)動。xlABqFAFB例2:圖示一抗彎剛度為EI的簡支梁,在全梁上受集度為q的均布荷載作用。試求此梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程,并確定其最大撓度wmax和最大轉(zhuǎn)角?max。xy解:由對稱性可知,梁的兩個支反力為梁的彎矩方程及撓曲線微分方程分別為積分兩次xlABqFAFBxy簡支梁的邊界條件是在x＝0處,w＝0在x＝l處,w＝0代入(

7、c)、(d)式確定出積分常數(shù)xlABqFAFBxyABqxyqAqBwmaxl/2由對稱性可知,在兩端支座x＝0和x＝l處,轉(zhuǎn)角的絕對值相等且都是最大值在梁跨中點l/2處有最大撓度值例3：圖示一抗彎剛度為EI的簡支梁,在D點處受一集中力F的作用。試求此梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程,并求其最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。xlABFabFAFBD解:求出梁的支反力為將梁分為I和II兩段,其彎矩方程分別為III梁段I(0?x?a)梁段II(a?x?l)兩段梁的撓曲線方程分別為積分一次得轉(zhuǎn)角方程再積分一次得撓曲線方程撓曲線方程注意：在對梁段II進行積分運算時,對含有(x-a)的彎矩項不