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1、第四節(jié)彎曲變形和剛度計算一、梁的變形度量——撓度與轉(zhuǎn)角二、撓曲線近似微分方程三、積分法求梁的變形四、位移條件一、梁的變形度量——撓度與轉(zhuǎn)角若忽略剪力的影響，橫截面繞其自身中性軸旋轉(zhuǎn)撓曲線——梁在受力變形后的軸線，又稱為彈性曲線撓度（y）——橫截面形心沿垂直于軸線方向的線位移稱為該點（橫截面的形心）的撓度向上為正，向下為負一、梁的變形度量——撓度與轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角（?）——橫截面繞其中性軸旋轉(zhuǎn)的角度稱為該橫截面的轉(zhuǎn)角順時針轉(zhuǎn)為正，逆時針轉(zhuǎn)為負撓度與轉(zhuǎn)角是度量梁的變形的兩個基本量一、梁的變形度量——撓度與轉(zhuǎn)角——撓曲線方程一、梁的變形度量
2、——撓度與轉(zhuǎn)角即：在小變形下：——轉(zhuǎn)角方程任一橫截面的轉(zhuǎn)角=撓曲線在該截面形心處切線的斜率求梁變形的關(guān)鍵是求撓曲線方程一、梁的變形度量——撓度與轉(zhuǎn)角二、撓曲線近似微分方程CD段：純彎曲1.力學(xué)方面AC段：橫力彎曲（忽略剪力的影響）二、撓曲線近似微分方程1.力學(xué)方面2.數(shù)學(xué)方面3.撓曲線近似微分方程二、撓曲線近似微分方程符號處理：y"與M(x)恒異號在小變形情況下，通常?<1?，而tan1?=0.017，y'2<<1——撓曲線近似微分方程——撓曲線微分方程三、積分法求梁的變形對于等直桿轉(zhuǎn)角方程：撓曲線方程：四、位移條件2.位移連
3、續(xù)條件1.已知位移條件撓度連續(xù)——連續(xù)性條件轉(zhuǎn)角連續(xù)——光滑性條件1.約束條件例11求圖示梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程。EI為常量。解：1.列微分方程并積分2.確定積分常數(shù)由由例11求圖示梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程。EI為常量。解：3.求ymax由?=0，可見：yC與ymax相差很小，兩者相差不到y(tǒng)max的3%。對于簡支梁，只要撓曲線上無拐點，總可以用跨中撓度代替最大撓度，并且不會引起很大誤差。工程上通常采用中點的撓度值作為設(shè)計依據(jù)例11求圖示梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程。EI為常量。解：4.畫撓曲線的大致形狀例12求圖示梁的彎曲變形邊
4、界條件：連續(xù)條件：解：AC段：CB段：1.列撓曲線近似微分方程，并積分。該梁的彎矩方程為撓曲線近似微分方程為通過兩次積分得(b)例題5-1解:2.確定積分常數(shù)，并求轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程轉(zhuǎn)角方程撓曲線方程由(3)、(4)兩式得該梁的邊界條件為：在x=0處w'=0，w=0將C1和C2代入(3)、(4)兩式，得例題5-1根據(jù)該梁邊界條件和全梁橫截面上彎矩均為負值，描出撓曲線的示意圖(圖c)。轉(zhuǎn)角方程撓曲線方程(c)例題5-1由撓曲線可見，該梁的qmax和wmax均在x=l的自由端處。由(5)、(6)兩式得2.求qmax和wmax(c
5、)例題5-1基本原理轉(zhuǎn)角和撓度由幾個外力同時作用時所引起的梁的變形等于由各個外力單獨作用時所引起的梁的變形的代數(shù)和五、疊加法求梁的變形例13求?B和yB解：2.F單獨作用時3.Me和F共同作用時1.Me單獨作用時一、梁的剛度條件[?]——許用轉(zhuǎn)角式中[y]——許用撓度梁的剛度條件與梁的合理設(shè)計二、梁的合理設(shè)計1.提高梁的抗彎剛度3.改善梁的受力情況2.減小梁跨度超靜定梁多余約束——僅用平衡方程不能求出全部約束反力的梁——就維持梁的平衡而言所不必要的約束多余約束力——與多余約束相應(yīng)的約束反力超靜定次數(shù)——多余約束的個數(shù)一次超靜定
6、梁二次超靜定梁簡單超靜定梁的解法變形比較法超靜定梁的解法1.選擇靜定基2.通過比較多余約束處的變形求出多余約束力例14試作圖示超靜定梁的剪力圖和彎矩圖。解：一次超靜定1.取靜定基2.求FBy查表列變形幾何方程設(shè)FBy為多余約束力代入上式，解得例14試作圖示超靜定梁的剪力圖和彎矩圖。解：3.求靜定基的支反力4.作FQ、M圖極值彎矩位置：極值彎矩：例14試作圖示超靜定梁的剪力圖和彎矩圖。5.討論設(shè)MA為多余約束力查表列變形幾何方程代入上式，解得例14試作圖示超靜定梁的剪力圖和彎矩圖。5.討論能否設(shè)FAy為多余約束力?靜定基的選取不
7、是唯一的結(jié)論:靜定基必須是幾何不變的幾何可變的——平衡的位置是不穩(wěn)定的
