彎曲變形和剛度計(jì)算

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1、第九章梁的彎曲變形與剛度計(jì)算工程力學(xué)12、撓曲線的近似微分方程3、用積分法求梁的變形4、用疊加法求梁的變形第九章梁的彎曲變形與剛度計(jì)算5、梁的剛度計(jì)算及提高梁的剛度的措施1、工程中的彎曲變形問(wèn)題6、簡(jiǎn)單超靜定梁7、梁的彎曲應(yīng)變能29.1工程中的彎曲變形問(wèn)題彎曲變形彎曲構(gòu)件除了要滿足強(qiáng)度條件外,還需滿足剛度條件。如車(chē)床主軸的變形過(guò)大會(huì)引起加工零件的誤差。車(chē)間內(nèi)的吊車(chē)梁若變形過(guò)大，將使吊車(chē)梁上的小車(chē)行走困難，出現(xiàn)爬坡現(xiàn)象。34汽車(chē)車(chē)架處的鋼板彈簧應(yīng)有較大的變形，才能更好地緩沖減振。5PAB9.2撓曲線的近似微分方程一

2、、彎曲變形的量度yx1.撓曲線：變形后梁的軸線。2.撓度ω：橫截面形心沿垂直于軸線方向的位移。向上為正。x撓曲線方程：3.轉(zhuǎn)角θ：橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)過(guò)的角度，即y軸與撓曲線法線的夾角，或x軸與撓曲線切線的夾角。逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?。小變形：撓曲線彎曲變形即:截面轉(zhuǎn)角近似等于撓曲線在該截面處的斜率。6彎曲變形橫力彎曲時(shí),如果是細(xì)長(zhǎng)梁,可略去剪力對(duì)梁的變形的影響，但M和?都是x的函數(shù)：純彎曲時(shí)曲率與彎矩的關(guān)系式為：由幾何關(guān)系知,平面曲線w=f(x)上任意一點(diǎn)的曲率可寫(xiě)作：7由于撓曲線是一條非常平坦的曲線,ω'2遠(yuǎn)比1小,可以

3、略去不計(jì),于是上式可寫(xiě)成：稱(chēng)為梁的撓曲線近似微分方程M?0yxMMM<0MM彎矩M與二階導(dǎo)數(shù)ω''的正負(fù)號(hào)始終一致EI稱(chēng)為梁的彎曲剛度,EI越大彎曲后梁的變形（撓度和轉(zhuǎn)角）越小，梁抵抗彎曲變形的能力越強(qiáng)。89.3用積分法求梁的變形撓曲線近似微分方程：C、D——積分常數(shù)；由邊界條件和連續(xù)性條件確定。彎曲變形若為等截面直梁,其抗彎剛度EI為一常量,上式可改寫(xiě)成：上式積分一次得轉(zhuǎn)角方程：再積分一次,得撓度方程：9彎曲變形在簡(jiǎn)支梁中,左右兩鉸支座處的撓度wA和wB都應(yīng)等于零。在懸臂梁中,固定端處的撓度wA和轉(zhuǎn)角?A都應(yīng)等

4、于零。ABwA＝0wB＝0ABwA＝0?A＝0邊界條件(boundarycondition)ABAB不可能不可能連續(xù)性條件(Continuitycondition)在撓曲線的任一點(diǎn)上,有唯一確定的撓度和轉(zhuǎn)角。如:10問(wèn)題討論：xycBA分幾段？問(wèn)題的邊界條件、連續(xù)條件？邊界條件連續(xù)條件A處：wA=0B處：wB=0AB、BC兩段B處：w1=w2q1=q2A處：wA=0，qA=0分OA一段。OqA11例：圖示一抗彎剛度為EI的懸臂梁,在自由端受一集中力F作用。試求梁的撓度方程和轉(zhuǎn)角方程,并確定其最大撓度wmax和最大

5、轉(zhuǎn)角?max。ABlxxy解：以梁左端A為原點(diǎn),取直角坐標(biāo)系如圖，令x軸向右,y軸向上為正。(1)列彎矩方程F(2)列撓曲線近似微分方程并積分12(3)由邊界條件確定積分常數(shù)代入式(a)和(b),得：C1＝0,C2＝0ABlxxyF在x＝0處:w＝0θ＝013ABlxxwF(4)建立轉(zhuǎn)角方程和撓度方程將C1和C2代入式(a)和(b),得梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程分別為：(5)求最大轉(zhuǎn)角和最大撓度自由端B處的轉(zhuǎn)角和撓度絕對(duì)值最大。wmax?max所得的撓度為負(fù)值,說(shuō)明B點(diǎn)向下移動(dòng);轉(zhuǎn)角為負(fù)值,說(shuō)明橫截面B沿順時(shí)針轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)

6、動(dòng)。14RBRAlABq例：用積分法求撓度方程和轉(zhuǎn)角方程，并確定絕對(duì)值最大的轉(zhuǎn)角和最大的撓度。設(shè)EI為常量。解：(1)求支座反力，寫(xiě)彎矩方程(2)建立撓曲線近似微分方程，并積分(3)利用邊界條件確定積分常數(shù)15(5)求轉(zhuǎn)角和撓度的最大值(4)求轉(zhuǎn)角方程、撓度方程彎曲變形的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)：θ＝0。彎曲變形ABqxyqAqBwmaxl/216例：圖示一抗彎剛度為EI的簡(jiǎn)支梁,在D點(diǎn)處受一集中力F的作用。試求此梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程,并求其最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。解:（1）寫(xiě)出彎矩方程以左端A為坐標(biāo)原點(diǎn)，將梁分為I和II兩段,其

7、彎矩方程分別為:求出梁的支反力為:xlABFabFAFBDIII17梁段I(0?x?a)梁段II(a?x?l)（2）建立撓曲線近似微分方程并積分積分一次轉(zhuǎn)角方程再積分得撓曲線方程撓曲線方程在對(duì)梁段II進(jìn)行積分運(yùn)算時(shí),對(duì)含有(x-a)的彎矩項(xiàng)不要展開(kāi),而以(x-a)作為自變量進(jìn)行積分,這樣可使下面確定積分常數(shù)的工作得到簡(jiǎn)化。18D點(diǎn)的連續(xù)條件：在x=a處,q1＝q2,w1＝w2邊界條件:在x=0處,w1＝0在x=l處,w2＝0代入方程可解得:（3）由邊界條件和連續(xù)條件確定積分常數(shù)xlABFabFAFBDIII19梁

8、段I(0?x?a)梁段II(a?x?l)將積分常數(shù)代入得：轉(zhuǎn)角方程撓曲線方程20對(duì)于簡(jiǎn)支梁而言，最大轉(zhuǎn)角一般發(fā)生在梁的兩端截面處，將x=0和x=l分別代入轉(zhuǎn)角方程有：當(dāng)a>b時(shí),右支座處截面的轉(zhuǎn)角絕對(duì)值為最大:（4）確定最大轉(zhuǎn)角與最大撓度xlABFabFAFBDIII21根據(jù)極值條件，在w'＝0即q=0處，w取得極值。研究第一段梁,令w'1＝0得：當(dāng)a>b時(shí),x1