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《各種積分之間的聯(lián)系》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、新課引入7/14/202117/14/20212二、高斯公式(不講)三、斯托克斯公式(不講)四、格林公式﹑高斯公式﹑斯托克斯公式之間的關(guān)系(不講)五、小結(jié)與思考練習(xí)一、格林公式9.5各類積分之間的關(guān)系7/14/20213一、格林公式1.區(qū)域連通性的分類設(shè)D為平面區(qū)域,如果D內(nèi)任一閉曲線所圍成的部分都屬于D,則稱D為平面單連通區(qū)域,否則稱為復(fù)(多)連通區(qū)域.復(fù)連通區(qū)域單連通區(qū)域DD7/14/202142、格林公式7/14/20215（1）D可以是單連通區(qū)域也可以是復(fù)連通區(qū)域。（2）邊界曲線L的正向:當(dāng)觀察者沿邊界行走時(shí),區(qū)域D總在他的左邊.7/14
2、/20216yxoabDcdABCEDGDFCEAB7/14/20217證明:(1)yxoabDcdABCE7/14/20218同理可證牛頓-萊布尼茲公式y(tǒng)xodDcCEBA7/14/20219證明(2)D兩式相加得7/14/2021107/14/202111GDFCEAB證明(3)由(2)知7/14/2021127/14/202113(1)計(jì)算平面面積3、格林公式的應(yīng)用舉例7/14/202114例1求橢圓解:7/14/202115例2計(jì)算拋物線與x軸所圍圖形的面積(圖21-17).解曲線由函數(shù)表示,為直線于是7/14/202116xyo(2)簡(jiǎn)
3、化二重積分7/14/2021177/14/202118(3)簡(jiǎn)化曲線積分7/14/2021197/14/2021207/14/2021217/14/202122解:7/14/202123yxo(注意格林公式的條件)7/14/202124二、高斯公式(GaussFormula)dSRQPdvzRyQxP)coscoscos()(òòòòò?W++=??+??+??gba或7/14/202125證明：取下側(cè)取上側(cè)7/14/202126根據(jù)三重積分的計(jì)算法根據(jù)曲面積分的計(jì)算法7/14/202127同理7/14/202128---------------
4、---高斯公式合并以上三式得：由兩類曲面積分之間的關(guān)系知Gauss公式的實(shí)質(zhì)表達(dá)了空間閉區(qū)域上的三重積分與其邊界曲面上的曲面積分之間的關(guān)系.7/14/2021297/14/202130注若在高斯公式中則有于是得到應(yīng)用第二型曲面積分計(jì)算空間區(qū)域V的體積的公式:7/14/202131例7.計(jì)算其中S是邊長(zhǎng)為a的正立方體表面并取外側(cè).解應(yīng)用高斯公式,7/14/202132注若在高斯公式中則有于是得到應(yīng)用第二型曲面積分計(jì)算空間區(qū)域V的體積的公式:7/14/202133例87/14/202134例9略.計(jì)算所圍的空間區(qū)域的表面，方向取外側(cè).解其中S為錐面與
5、平面7/14/2021357/14/202136P203例47/14/202137設(shè)S1為上半球體的底面，例10.計(jì)算的外側(cè).解其中S是上半球面取下側(cè).于是…P204作業(yè)題2(4).7/14/202138解由于曲面不是封閉的,不能直接應(yīng)用高斯公式.為了能使用高斯公式以方便計(jì)算,可補(bǔ)充一塊平面并取下側(cè),則構(gòu)成一封閉曲面.于是練習(xí)計(jì)算其中為曲面上的部分,并取上側(cè).7/14/202139而因此7/14/202140先對(duì)雙側(cè)曲面S的側(cè)與其邊界曲線L的方向作如下規(guī)定:設(shè)有人站在S上指定的一側(cè),若沿L行走,指定的側(cè)總在人的左方,則人前進(jìn)的方向?yàn)檫吔缇€L的正向
6、;若沿L行走,指定的側(cè)總在人的右方,則人前進(jìn)的方向?yàn)檫吔缇€L的負(fù)向.這個(gè)規(guī)定也稱為右手法則,如圖22-9所示.三、斯托克斯公式(Stokesformula)7/14/2021417/14/2021427/14/202143注意:則斯托克斯公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例.如果S是xoy坐標(biāo)平面上的一塊平面區(qū)域,7/14/202144另一種形式便于記憶形式，利用行列式記號(hào)把斯托克斯（Stokes)公式寫(xiě)成7/14/2021457/14/202146以下略47--527/14/202147解：則7/14/202148即7/14/202
7、149例利用斯托克斯公式計(jì)算積分其中L為平面x+y+z=1與各坐標(biāo)面的交線，解取逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎蛉鐖D所示.記三角形ABC為S,取上側(cè),則7/14/2021507/14/202151例利用斯托克斯公式計(jì)算積分其中L為y2+z2=1,x=y所交的橢圓正向.解記以L為邊界的橢圓面為S,其方向按右手法則確定，于是有7/14/2021527/14/202153四、格林公式﹑高斯公式﹑斯托克斯公式 之間的關(guān)系7/14/202154內(nèi)容小結(jié)1.連通區(qū)域的概念;2.二重積分與曲線積分的關(guān)系3.格林公式的應(yīng)用.——格林公式;7/14/2021554.高斯公式5.斯
8、托克斯公式7/14/202156德國(guó)數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和物理學(xué)家,是與阿基米德,牛頓并列的偉大數(shù)學(xué)家,他的數(shù)學(xué)成就遍及各個(gè)領(lǐng)域,在數(shù)論、級(jí)
