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《各類積分之間的聯(lián)系與計(jì)算(朱靜)》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、各類積分之間的聯(lián)系與計(jì)算第一型曲線積分計(jì)算：化為定積分（1）參數(shù)方程如果空間曲線L參數(shù)方程為：，，則，=。若空間曲線參數(shù)方程為：，，則，=。（2）直角坐標(biāo)方程如果曲線L的方程為，，那么有。第二型曲線積分計(jì)算：化為定積分（1）參數(shù)方程若平面定向曲線的參數(shù)方程：，則=若空間定向曲線的參數(shù)方程，則6=（2）直角坐標(biāo)方程若曲線L的方程為，則二重積分的計(jì)算：化為二次積分（1）直角坐標(biāo)系若在型區(qū)域上連續(xù)則=.若在型區(qū)域上連續(xù)，則=.（2）極坐標(biāo)變換極坐標(biāo)變換：,情形1原點(diǎn)1）為型區(qū)域，即，此時(shí)2）為型區(qū)域，即，此時(shí)情形2原點(diǎn)是積分區(qū)域的內(nèi)點(diǎn)，的邊界極坐標(biāo)方程為，則變換后的區(qū)域，6此時(shí)情形3原點(diǎn)在
2、積分區(qū)域的邊界曲線上，，此時(shí)有廣義極坐標(biāo)變換:三重積分的計(jì)算：化為三次積分（1）直角坐標(biāo)系投影法（以投影到xy平面為例）我們先在軸上做積分，暫時(shí)將看成是常數(shù)．把函數(shù)看作是的函數(shù)，將它在區(qū)間上積分得到“線”的質(zhì)量．顯然這個(gè)結(jié)果是的函數(shù)，再把這個(gè)結(jié)果在平面區(qū)域上做二重積分“體”的質(zhì)量，即若，；若，；6截面法（以截面平行于xy平面為例）確定位于平面之間，即，過z作平行于xoy面的平面截，得截面，不難得到：“面”的質(zhì)量，“體”的質(zhì)量（2）柱面坐標(biāo)變換==（3）球坐標(biāo)變換=廣義球坐標(biāo)變換第一型曲面積分：化為二重積分（1）直角坐標(biāo)方程若光滑曲面：，，為定義在上的連續(xù)函數(shù)，則=（2）參數(shù)方程6第二
3、型曲面積分：化為二重積分（1）直角坐標(biāo)方程設(shè)函數(shù)在有向光滑曲面：，上連續(xù)，則有（上側(cè)取正，下側(cè)取負(fù)）若曲面為：，則有（前側(cè)取正，后側(cè)取負(fù)）若曲面為：，則有（右側(cè)取正，左側(cè)取負(fù)）注：如果的法線方向與相應(yīng)坐標(biāo)軸的正向成鈍角的那一側(cè)為正側(cè)，則相應(yīng)的公式右端要加“-”號(hào)（2）參數(shù)方程格林公式：若函數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù)，且有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則有為區(qū)域的邊界曲線，并取正方向.設(shè)區(qū)域的邊界由一條光滑曲線或幾條光滑曲線組成，規(guī)定邊界曲線的正方向?yàn)椋寒?dāng)人沿邊界行走時(shí)，區(qū)域總在他的左邊；與上述方向相反的方向稱為負(fù)方向，記為.為便于記憶，格林公式可寫成下述形式.格林公式溝通了平面區(qū)域上的二重積分與其邊界曲線
4、上的曲線積分之間的聯(lián)系.高斯公式：設(shè)空間閉區(qū)域是由分片光滑的閉曲面所圍成，P（x,y,z）,Q(x,y,z),R(x,y,z)在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有公式：這里是由的整個(gè)邊界曲面的外側(cè)構(gòu)成。通常由6所表示的曲面都是雙側(cè)曲面，當(dāng)以其法線正方向與z正向的夾角成銳角的一側(cè)(也稱為上側(cè))為正側(cè)時(shí)，則另一側(cè)(也稱下側(cè))為負(fù)側(cè)。當(dāng)S為封閉曲面時(shí)，通常規(guī)定曲面的外側(cè)為正側(cè)，內(nèi)側(cè)為負(fù)側(cè)。高斯公式溝通了空間閉區(qū)域上的三重積分與其邊界曲面上的曲面積分之間的關(guān)系.斯托克斯公式：設(shè)為分段光滑的空間有向閉曲線，是以為邊界的分片光滑的有向曲面，的正向與的側(cè)符合右手規(guī)則，函數(shù)在包含曲面在內(nèi)的一個(gè)空間區(qū)域內(nèi)具有
5、一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則有公式(7.1)公式(7.1)稱為斯托克斯公式.右手螺旋法則：即當(dāng)人站在曲面的正側(cè)上,沿邊界曲線行走時(shí),若曲面在左側(cè),則把人的前進(jìn)方向定為的正向.為了便于記憶，斯托克斯公式常寫成如下形式：斯托克斯公式是格林公式的推廣，如果是xoy面上的一塊平面閉區(qū)域，斯托克斯公式就變成格林公式.斯托克斯公式建立了空間曲面的曲面積分與沿的邊界曲線的曲線積分之間的聯(lián)系.廣華初級(jí)中學(xué)朱靜2012年4月15日星期日整理6
