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1、主講教師：陳殿友總課時(shí)：124第十一講極限的運(yùn)算法則高等數(shù)學(xué)第一章二、極限的四則運(yùn)算法則三、復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則一、無窮小運(yùn)算法則機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束§5極限運(yùn)算法則本節(jié)將討論極限的求法，主要是建立極限運(yùn)算的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的運(yùn)算法則，利用這些法則，可以求某些函數(shù)的極限.以后我們將逐步介紹求極限的的其他方法.在下面的討論中，記號(hào)“l(fā)im”下面沒有標(biāo)明自變量的變化過程，實(shí)際上，下面的定理對(duì)x→x0及x→∞都是成立的.在論證時(shí),我們只證明了x→x0的情形,只要把δ改成X，把0＜
2、x-x0
3、＜δ改成
4、x
5、＞X，就可得x→∞情形的證明.時(shí),有一、無窮小運(yùn)算法則定理1.有限個(gè)無窮小的和還是
6、無窮小.證:考慮兩個(gè)無窮小的和.設(shè)當(dāng)時(shí),有當(dāng)時(shí),有取則當(dāng)因此這說明當(dāng)時(shí),為無窮小量.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:無限個(gè)無窮小之和不一定是無窮小!例如，解答見課件第三講例4機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束類似可證:有限個(gè)無窮小之和仍為無窮小.定理2.有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.證:設(shè)又設(shè)即當(dāng)時(shí),有取則當(dāng)時(shí),就有故即是時(shí)的無窮小.推論1.常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論2.有限個(gè)無窮小的乘積是無窮小.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.求解:利用定理2可知說明:y=0是的漸近線.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束二、極限的四則運(yùn)算法則則有證:因則有(其中為無窮小)于是由定理1可知也是無窮小,再利用極限與無窮小的關(guān)
7、系定理,知定理結(jié)論成立.定理3.若機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束推論:若且則(P45定理5)利用保號(hào)性定理證明.說明:定理3可推廣到有限個(gè)函數(shù)相加、減的情形.提示:令機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束定理4.若則有提示:利用極限與無窮小關(guān)系定理及本節(jié)定理2證明.說明:定理4可推廣到有限個(gè)函數(shù)相乘的情形.推論1.(C為常數(shù))推論2.(n為正整數(shù))例2.設(shè)n次多項(xiàng)式試證證:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束為無窮小(詳見P44)定理5.若且B≠0,則有證:因有其中設(shè)無窮小有界因此由極限與無窮小關(guān)系定理,得為無窮小,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束定理6.若則有提示:因?yàn)閿?shù)列是一種特殊的函數(shù),故此定理可由定理3,4,5直接得出結(jié)論
8、.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束x=3時(shí)分母為0!例3.設(shè)有分式函數(shù)其中都是多項(xiàng)式,試證:證:說明:若不能直接用商的運(yùn)算法則.例4.若機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例5.求解:x=1時(shí)分母=0,分子≠0,但因機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例6.求解:時(shí),分子分子分母同除以則分母原式機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例7求解先用x3除分母和分子，然后求極限，得機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例8求解應(yīng)用例7的結(jié)果并根據(jù)定理，即得機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束一般有如下結(jié)果：為非負(fù)常數(shù))(如例6)(如例7)(如例8)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束主講教師：陳殿友總課時(shí)：124第十二講極限的運(yùn)算法則高等數(shù)學(xué)三、復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則定理7.設(shè)且
9、x滿足時(shí),又則有證:當(dāng)時(shí),有當(dāng)時(shí),有對(duì)上述取則當(dāng)時(shí)故①因此①式成立.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束定理7.設(shè)且x滿足時(shí),又則有說明:若定理中則類似可得機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例9.求解:令已知(見P46例3)∴原式=(見P33例5)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例10.求解:方法1則令∴原式方法2機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)1.極限運(yùn)算法則(1)無窮小運(yùn)算法則(2)極限四則運(yùn)算法則(3)復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則注意使用條件2.求函數(shù)極限的方法(1)分式函數(shù)極限求法時(shí),用代入法(分母不為0)時(shí),對(duì)型,約去公因子時(shí),分子分母同除最高次冪“抓大頭”(2)復(fù)合函數(shù)極限求法設(shè)中間變量Th1Th2Th3Th4Th5
10、Th7機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束思考及練習(xí)1.是否存在?為什么?答:不存在.否則由利用極限四則運(yùn)算法則可知存在,與已知條件矛盾.解:原式2.問機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束3.求解法1原式=解法2令則原式=機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束4.試確定常數(shù)a使解:令則故機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束因此作業(yè)P161.2第六節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束備用題設(shè)解:利用前一極限式可令再利用后一極限式,得可見是多項(xiàng)式,且求故機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束
