§2.4 等比數(shù)列 a

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1、第二章數(shù)列§2.4等比數(shù)列復(fù)習(xí)與提問(wèn)：1、等差數(shù)列的定義：定義的符號(hào)表示：2、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：3、等差中項(xiàng)：a，A，b成等差數(shù)列，則A=（a+b）/2an=a1+（n-1）d等差數(shù)列an+1-an=d一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列叫做等差數(shù)列.實(shí)例1觀察細(xì)胞分裂的過(guò)程：構(gòu)成數(shù)列：1，2，4，8，…古語(yǔ)：一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭。木棒每天的長(zhǎng)度構(gòu)成一個(gè)數(shù)列：實(shí)例2實(shí)例3銀行有一種支付利息的方式——復(fù)利，即是把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再算下一期的利息，也就是通常所說(shuō)的“利滾利”.比如，現(xiàn)在存入銀行1萬(wàn)元錢

2、，年利率是1.98%時(shí)間年初本金（元）年末本利和（元）第1年1000010000×1.0198第2年10000×1.0198第3年第4年第5年10000×1.0198210000×1.0198210000×1.0198310000×1.0198310000×1.0198410000×1.0198410000×1.01985①1，2，4，8，…②③1，20，202，203…④10000×1.01981，10000×1.01982，10000×1.01983，10000×1.01984…共同特點(diǎn)：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)。思考：以下數(shù)

3、列有什么共同特點(diǎn)？定義等比數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)如果一個(gè)數(shù)列，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列。這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公差通常用字母q表示.即：(q常數(shù))（n≥2）①－2，1，4，7，10，13，16，19，…②4，16，32，64，128，256，…③243，81，27，9，3，1，，，…④3，3，3，3，3，3，3，…練習(xí)1、你能舉出一些等比數(shù)列的例子嗎？q=1練習(xí)2、指出下列數(shù)列是不是等比數(shù)列，若是，請(qǐng)說(shuō)出其公比是多少：××思考1：等比數(shù)列的公比q能取0嗎？×（4）等比數(shù)列的數(shù)學(xué)語(yǔ)言定義中：無(wú)法用替代。對(duì)等比數(shù)列的認(rèn)識(shí)

4、：（2）等比數(shù)列的每一項(xiàng)都不為0，即　　　；（1）等比數(shù)列的首項(xiàng)不為0；（3）公比不為0.思考2：公比q<0時(shí)，等比數(shù)列呈現(xiàn)怎樣的特點(diǎn)？正負(fù)交替對(duì)公比q的探究：（a1﹥0時(shí)）當(dāng)0﹤q﹤1時(shí)，等比數(shù)列{an}為遞減數(shù)列；當(dāng)q﹥1時(shí)，等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列；當(dāng)q=1時(shí)，等比數(shù)列{an}為常數(shù)列；當(dāng)q﹤0時(shí)，等比數(shù)列{an}為擺動(dòng)數(shù)列。思考3：有無(wú)數(shù)列是既等比又等差的？注意：當(dāng)　　　時(shí)，數(shù)列　　　　　　　既是等差又是等比數(shù)列，當(dāng)　　　時(shí)，它只是等差數(shù)列，而不是等比數(shù)列.等比中項(xiàng)：如果a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)。a，G，b成等比數(shù)列例

5、：-1和10是否存在等比中項(xiàng)，是的話如何計(jì)算？思考4：類比等差中項(xiàng)，什么是等比中項(xiàng)？對(duì)a，b的要求：a，b要同號(hào)。如果等比數(shù)列{}的首項(xiàng)是,公比是,那么這個(gè)等比數(shù)列的第　項(xiàng)　如何表示?當(dāng)n=1時(shí)，（等比數(shù)列通項(xiàng)公式）如果等比數(shù)列{}的首項(xiàng)是,公比是,那么這個(gè)等比數(shù)列的第項(xiàng)如何表示?，…，∵∴…如何對(duì)其加以嚴(yán)格的證明呢？想一想？證明：將等式左右兩邊分別相乘可得：化簡(jiǎn)得：即：此式對(duì)n=1也成立∵，…，…………∴疊乘法推導(dǎo)已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，其首項(xiàng)為a1，公比為q，則其通項(xiàng)公式為：通項(xiàng)公式從通項(xiàng)公式，想象一下等比數(shù)列的圖象是怎么樣的嗎？o123456

6、12345678等比數(shù)列通項(xiàng)公式的圖象表示:課本50頁(yè)探究（2）通項(xiàng)公式數(shù)學(xué)式子表示定義等比數(shù)列等差數(shù)列名　稱如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等差數(shù)列.這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，用d表示an+1-an=dan=a1+（n-1）d如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列.這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，用q表示例1：某種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì)，每經(jīng)過(guò)一年剩留的這種物質(zhì)是原來(lái)的84%，這種物質(zhì)的半衰期為多長(zhǎng)（精確到1年）？分析：時(shí)間：剩留量:最初1經(jīng)過(guò)1年a1=0.

7、84經(jīng)過(guò)2年a2=0.842經(jīng)過(guò)3年a3=0.843經(jīng)過(guò)n年an=0.84n等比數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用例2：根據(jù)圖2-4-2中的框圖，寫出所打印數(shù)列的前5項(xiàng)，并建立數(shù)列的遞推公式，這個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列嗎？開始A=1n=1輸出An=n+1n>5?結(jié)束是A=A×(1/2)否把③代入①，得把②的兩邊分別除以①的兩邊，得解：設(shè)這個(gè)等比數(shù)列的第1項(xiàng)是，公比是，那么①②例3：一個(gè)等比數(shù)列的第3項(xiàng)與第4項(xiàng)分別是12與18，求它的第1項(xiàng)與第2項(xiàng).是項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列，求證：是等比數(shù)列