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《§2.4 等比數(shù)列 a》由會(huì)員上傳分享,免費(fèi)在線閱讀,更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、第二章數(shù)列§2.4等比數(shù)列復(fù)習(xí)與提問(wèn):1、等差數(shù)列的定義:定義的符號(hào)表示:2、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式:3、等差中項(xiàng):a,A,b成等差數(shù)列,則A=(a+b)/2an=a1+(n-1)d等差數(shù)列an+1-an=d一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù),這個(gè)數(shù)列叫做等差數(shù)列.實(shí)例1觀察細(xì)胞分裂的過(guò)程:構(gòu)成數(shù)列:1,2,4,8,…古語(yǔ):一尺之棰,日取其半,萬(wàn)世不竭。木棒每天的長(zhǎng)度構(gòu)成一個(gè)數(shù)列:實(shí)例2實(shí)例3銀行有一種支付利息的方式——復(fù)利,即是把前一期的利息和本金加在一起算作本金,再算下一期的利息,也就是通常所說(shuō)的“利滾利”.比如,現(xiàn)在存入銀行1萬(wàn)元錢
2、,年利率是1.98%時(shí)間年初本金(元)年末本利和(元)第1年1000010000×1.0198第2年10000×1.0198第3年第4年第5年10000×1.0198210000×1.0198210000×1.0198310000×1.0198310000×1.0198410000×1.0198410000×1.01985①1,2,4,8,…②③1,20,202,203…④10000×1.01981,10000×1.01982,10000×1.01983,10000×1.01984…共同特點(diǎn):從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)。思考:以下數(shù)
3、列有什么共同特點(diǎn)?定義等比數(shù)列:從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)如果一個(gè)數(shù)列,那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列。這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比,公差通常用字母q表示.即:(q常數(shù))(n≥2)①-2,1,4,7,10,13,16,19,…②4,16,32,64,128,256,…③243,81,27,9,3,1,,,…④3,3,3,3,3,3,3,…練習(xí)1、你能舉出一些等比數(shù)列的例子嗎?q=1練習(xí)2、指出下列數(shù)列是不是等比數(shù)列,若是,請(qǐng)說(shuō)出其公比是多少:××思考1:等比數(shù)列的公比q能取0嗎?×(4)等比數(shù)列的數(shù)學(xué)語(yǔ)言定義中:無(wú)法用替代。對(duì)等比數(shù)列的認(rèn)識(shí)
4、:(2)等比數(shù)列的每一項(xiàng)都不為0,即 ;(1)等比數(shù)列的首項(xiàng)不為0;(3)公比不為0.思考2:公比q<0時(shí),等比數(shù)列呈現(xiàn)怎樣的特點(diǎn)?正負(fù)交替對(duì)公比q的探究:(a1﹥0時(shí))當(dāng)0﹤q﹤1時(shí),等比數(shù)列{an}為遞減數(shù)列;當(dāng)q﹥1時(shí),等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列;當(dāng)q=1時(shí),等比數(shù)列{an}為常數(shù)列;當(dāng)q﹤0時(shí),等比數(shù)列{an}為擺動(dòng)數(shù)列。思考3:有無(wú)數(shù)列是既等比又等差的?注意:當(dāng) 時(shí),數(shù)列 既是等差又是等比數(shù)列,當(dāng) 時(shí),它只是等差數(shù)列,而不是等比數(shù)列.等比中項(xiàng):如果a,G,b成等比數(shù)列,那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)。a,G,b成等比數(shù)列例
5、:-1和10是否存在等比中項(xiàng),是的話如何計(jì)算?思考4:類比等差中項(xiàng),什么是等比中項(xiàng)?對(duì)a,b的要求:a,b要同號(hào)。如果等比數(shù)列{}的首項(xiàng)是,公比是,那么這個(gè)等比數(shù)列的第 項(xiàng) 如何表示?當(dāng)n=1時(shí),(等比數(shù)列通項(xiàng)公式)如果等比數(shù)列{}的首項(xiàng)是,公比是,那么這個(gè)等比數(shù)列的第項(xiàng)如何表示?,…,∵∴…如何對(duì)其加以嚴(yán)格的證明呢?想一想?證明:將等式左右兩邊分別相乘可得:化簡(jiǎn)得:即:此式對(duì)n=1也成立∵,…,…………∴疊乘法推導(dǎo)已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列,其首項(xiàng)為a1,公比為q,則其通項(xiàng)公式為:通項(xiàng)公式從通項(xiàng)公式,想象一下等比數(shù)列的圖象是怎么樣的嗎?o123456
6、12345678等比數(shù)列通項(xiàng)公式的圖象表示:課本50頁(yè)探究(2)通項(xiàng)公式數(shù)學(xué)式子表示定義等比數(shù)列等差數(shù)列名 稱如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列叫做等差數(shù)列.這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,用d表示an+1-an=dan=a1+(n-1)d如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列.這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比,用q表示例1:某種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì),每經(jīng)過(guò)一年剩留的這種物質(zhì)是原來(lái)的84%,這種物質(zhì)的半衰期為多長(zhǎng)(精確到1年)?分析:時(shí)間:剩留量:最初1經(jīng)過(guò)1年a1=0.
7、84經(jīng)過(guò)2年a2=0.842經(jīng)過(guò)3年a3=0.843經(jīng)過(guò)n年an=0.84n等比數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用例2:根據(jù)圖2-4-2中的框圖,寫出所打印數(shù)列的前5項(xiàng),并建立數(shù)列的遞推公式,這個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列嗎?開始A=1n=1輸出An=n+1n>5?結(jié)束是A=A×(1/2)否把③代入①,得把②的兩邊分別除以①的兩邊,得解:設(shè)這個(gè)等比數(shù)列的第1項(xiàng)是,公比是,那么①②例3:一個(gè)等比數(shù)列的第3項(xiàng)與第4項(xiàng)分別是12與18,求它的第1項(xiàng)與第2項(xiàng).是項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列,求證:是等比數(shù)列