幾種常用的插值方法

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1、幾種常用的插值方法數(shù)學(xué)系信息與計(jì)算科學(xué)1班李平指導(dǎo)老師：唐振先摘要:插值在諸如機(jī)械加工等工程技術(shù)和數(shù)據(jù)處理等科學(xué)研究中有許多直接的應(yīng)用,在很多領(lǐng)域都要用插值的辦法找出表格和中間值,插值還是數(shù)值積分微分方程數(shù)值解等數(shù)值計(jì)算的基礎(chǔ)。本文歸納了幾種常用的插值方法,并簡(jiǎn)單分析了其各自的優(yōu)缺點(diǎn)。關(guān)鍵詞:任意階多項(xiàng)式插值,分段多項(xiàng)式插值。引言:所謂插值,通俗地說(shuō)就是在若干以知的函數(shù)值之間插入一些未知函數(shù)值,而插值函數(shù)的類型最簡(jiǎn)單的選取是代數(shù)多項(xiàng)式。用多項(xiàng)式建立插值函數(shù)的方法主要用兩種：一種是任意階的插值多項(xiàng)式,它主要有三種基本的插值公式：?jiǎn)雾?xiàng)式,拉格朗日和牛頓插值；另一種是分

2、段多項(xiàng)式插值,它有Hermite和spine插值和分段線性插值。一．任意階多項(xiàng)式插值：1.用單項(xiàng)式基本插值公式進(jìn)行多項(xiàng)式插值：多項(xiàng)式插值是求通過(guò)幾個(gè)已知數(shù)據(jù)點(diǎn)的那個(gè)n-1階多項(xiàng)式,即Pn-1(X)=A1+A2X+…AnXn-1,它是一個(gè)單項(xiàng)式基本函數(shù)X0,X1…Xn-1的集合來(lái)定義多項(xiàng)式,由已知n個(gè)點(diǎn)（X,Y）構(gòu)成的集合,可以使多項(xiàng)式通過(guò)沒(méi)數(shù)據(jù)點(diǎn),并為n個(gè)未知系數(shù)Ai寫(xiě)出n個(gè)方程,這n個(gè)方程組成的方程組的系數(shù)矩陣為Vandermonde矩陣。雖然這個(gè)過(guò)程直觀易懂,但它都不是建立插值多項(xiàng)式最好的辦法,因?yàn)閂andermonde方程組有可能是病態(tài)的,這樣會(huì)導(dǎo)致單項(xiàng)式系

3、數(shù)不確定。另外,單項(xiàng)式中的各項(xiàng)可能在大小上有很大的差異,這就導(dǎo)致了多項(xiàng)式計(jì)算中的舍入誤差。2.拉格朗日基本插值公式進(jìn)行插值：先構(gòu)造一組插值函數(shù)Li（x）=，其中i=0，…n.容易看出n次多項(xiàng)式Li（x）滿足Li（x）=1，（i=j）；Li（）=0，（i≠j），其中i=0，1…n，令Li（x）=這就是拉格朗日插值多項(xiàng)式。與單項(xiàng)式基本函數(shù)插值多項(xiàng)式相比,拉格朗日插值有2個(gè)重要優(yōu)點(diǎn)首先,建立插值多項(xiàng)式不需要求解方程組；其次,它的估計(jì)值受舍入誤差要小得多。拉格朗日插值公式結(jié)構(gòu)緊湊,在理論分析中很方便,但是,當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)增加、減少或其位置變化時(shí)全部插值函數(shù)均要隨之變化,從而整

4、個(gè)插值公式的結(jié)構(gòu)也將發(fā)生變化,這在實(shí)際計(jì)算是非常不利的。3.使用牛頓均差插值公式進(jìn)行多項(xiàng)式進(jìn)行插值：首先,定義均差,f在xi,xj上的一階均差，其中(i≠j)。f在xi，xj，xk的二階均差f[xi，xj，xk]=，k階均f[xi…xk]=。由此得出牛頓均值插值多項(xiàng)式的公式為Pn(x)=f[x0]+f[x0-x1](x-x0)+…+f[x0，xn](x-x0)…(x-xn-1)。實(shí)際計(jì)算中經(jīng)常利用下表給出的均差表直接構(gòu)造牛頓插值公式,，xkF(xi)一階均差二階均差三階均差……x0x1x2x3…F(x0)F(x1)F(x2)F(x3)…F[x0，x1]F[x1，x

5、2]F[x2，x3]…F[x0，x1，x2]F[x1，x2，x3]…F[x0，x1，x2，x3]…凡是拉格朗日插值解決的問(wèn)題牛頓插值多項(xiàng)式都可以解決,不僅如此,更重要的是牛頓均值克服了拉格朗日插值多項(xiàng)式的缺點(diǎn),當(dāng)需要提高近似值的精確度而增加結(jié)點(diǎn)時(shí),它不必重新計(jì)算,只要在后面再計(jì)算一項(xiàng)均插即可,減少了計(jì)算量,不用計(jì)算全部系數(shù),節(jié)約了大量人力,物力,財(cái)力。增加插值多項(xiàng)式的階數(shù)并不一定能增加插值的精度,據(jù)定義,插值式,F(x)可以與結(jié)點(diǎn)(xi，yi)，i=1，…，n處的實(shí)際函數(shù)匹配,但卻不能保證支點(diǎn)之間求F(x),還能很好的逼近產(chǎn)生(xi，yi)數(shù)據(jù)的實(shí)際函數(shù)F(x)。

6、例如,如果F(x)為一個(gè)已知的解析函數(shù),而且定義F(x)的節(jié)點(diǎn)集合中數(shù)據(jù)點(diǎn)的數(shù)目可以增加（多項(xiàng)式F(x)的階數(shù)也增加）,但是,由于F(x)的起伏增加,那么插值式就可能在節(jié)點(diǎn)見(jiàn)振帶,基于當(dāng)實(shí)際函數(shù)F(x)平滑時(shí),這種多項(xiàng)式擺動(dòng)也可能發(fā)生,這種振蕩不是由多項(xiàng)式擺動(dòng)引起的,而是由多項(xiàng)式的項(xiàng)相加來(lái)求插值多項(xiàng)式時(shí)發(fā)生舍入誤差造成的。有時(shí)多項(xiàng)式擺動(dòng)可通過(guò)謹(jǐn)慎選擇基礎(chǔ)函數(shù)的取樣來(lái)成為,但如果數(shù)據(jù)是由不容易重復(fù)實(shí)驗(yàn)取得的,就不能這么做了,這會(huì)司會(huì)用下面介紹分段插值法。二、分段插值多項(xiàng)式1、分段線性插值：分段線性插值最簡(jiǎn)單的插值方案,只要將每個(gè)相鄰的節(jié)點(diǎn)用直線接起來(lái),如此形成的一條

7、新的折線就是分段線性插值函數(shù),記作In(j)=yi而且In(x)在每個(gè)區(qū)間[jj+1]上是線性函數(shù)（j=0,1…n-1）In(X)可以定義為In(j)=其中l(wèi)0(x)=，其他，l0(x)=0lj(x)=，；=其他，lj(x)=0ln(x)=其他，ln(x)=0In(j)具有很好的收斂性,即對(duì)于x∈[a,b]有：當(dāng)n趨向于無(wú)窮大時(shí),In()=g(x)成立。用In()計(jì)算x點(diǎn)的插值時(shí),只用到x左右的兩個(gè)節(jié)點(diǎn),計(jì)算量與節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)n無(wú)關(guān),但n越大分段越多,插值誤差就越小,但是,該方法折線在節(jié)點(diǎn)處顯然不光滑,即In(X)在節(jié)點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)不存在著影響它在需要光滑插值曲線的（如機(jī)械插

8、值等領(lǐng)域中