數(shù)列求和公式推導

《數(shù)列求和公式推導》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。

1、盧玉成：數(shù)列求和公式推導——數(shù)據(jù)規(guī)律分析法的簡單應用數(shù)列求和公式推導——數(shù)據(jù)規(guī)律分析法的簡單應用江蘇省灌溉總渠管理處：盧玉成【預備知識】運用數(shù)據(jù)規(guī)律分析法需要了解“數(shù)據(jù)規(guī)律分析法”原理，請從知網(wǎng)下載《數(shù)據(jù)規(guī)律分析法在流量系數(shù)曲線公式擬合中的應用》或《數(shù)據(jù)規(guī)律分析法在曲線優(yōu)化擬合中的應用》；其它應用示例請從知網(wǎng)下載《利用數(shù)據(jù)規(guī)律分析法巧解數(shù)學問題》。求自然序列的數(shù)列求和，需要明確一個規(guī)律和掌握兩個公式。一個規(guī)律：總和函數(shù)比通項函數(shù)高一個冪次。例如通項函數(shù)為二次多項式，則總和函數(shù)必為三次多項式。兩個公式：1、任意階差分計算公式(差分單元為連續(xù)數(shù)列值y)。Mi,

2、j=k=0i(-1)kCikyj-k。i差分階次，j位置編號。這個看似復雜，記住兩句話就可以熟練運用它。系數(shù)按照楊輝三角，符號從頭正負交替。[也就是(a-b)n展開式系數(shù))]，見右下表。階次差分計算系數(shù)表1+1-12+1-2+13+1-3+3-14+1-4+6-4+15+1-5+10-10+5-1差分計算舉例(數(shù)據(jù)系列見下表)：數(shù)列編號n1234567數(shù)列值y182764125216343序號5—6的一階差分值：M1,6=216-125=91序號2—4的二階差分值：M2,4=64-2×27+8=18序號1—4的三階差分值：M3,4=64-3×27+3×8-

3、1=6序號2—6的四階差分值：M4,6=216-4×125+6×64-4×27+8=0對于差分計算，由于牽涉到不同類別或不同單項，下面用到代號意義：無特殊不標記，此處通為通項差分——通單項用數(shù)字或e表示，如3次方項——3Mi,j。2、多項式系數(shù)計算公式。an=Mnn！δn。式中：an多項式系數(shù)；Mn對應階次的差分值；δ數(shù)據(jù)間距差，數(shù)列以自然數(shù)排序，取1。要完成全部系數(shù)計算，應用降階法，即從高到低逐個計算。若記f(k)為k次多項式，則有：f(n-1)=f(n)-anxn，利用f(n-1)的n-1階差分計算an-1，余類推?！緫门e例】例1求數(shù)列12，42，7

4、2，102…[1+3n-1]2，的求和公式。解：通項為二次函數(shù)，總和為三次函數(shù)。只需列出前4個數(shù)據(jù)計算即可。以自然序號排列，δ=1。(合成數(shù)據(jù)差分計算)總和：1,17,66,166，M3,4=166-3×66+3×17-1=18a3=183!×13=3，轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)，取前3個數(shù)據(jù)，1-3×13，17-3×23，66-3×33，即：-2，-7，-15，M2,3=-15+2×7-2=-3a2=-32!×12=-32，轉(zhuǎn)化成一次函數(shù)，取前2個數(shù)據(jù)，-2--3×122，-7--3×222，即：-12，-1，M1,2=-1--12=-12a1=-1/21!×11=

5、-12，a0=1-a3-a2-a1=1-3+32+12=0，∴Sn=3n3-32n2-12n=n(6n2-3n-1)2盧玉成：數(shù)列求和公式推導——數(shù)據(jù)規(guī)律分析法的簡單應用例2求自然數(shù)立方和公式。解：通項為三次函數(shù)，總和為四次函數(shù)。只需列出前5個數(shù)據(jù)計算即可。見下表(用分步差分后合成計算)總和函數(shù)的四階差分為通項函數(shù)的三階差分，注意：序號一定要對應。M4,5=通M3,5=53-3×43+3×33-23=6序列號n總和函數(shù)一階差分(通項函數(shù))a4n4a3n3a2n21S1=1214×1412×1314×122S22314×2412×2314×223S33314

6、×3412×334S44314×445S553a4=64!×14=14，將a4n4填入對應列M3,4=通M2,4=43-2×33+23=184M3,4=44-3×34+3×24-14=15a3=M3,4-4M3,43!×13=18-156=12，將a3n3填入對應列，M2,3=通M1,3=33-23=19，4M2,,3=34-2×24+14=2523M2,,3=33-2×23+12=6，a2=M2,3-4M2,3-3M2,32!×12=19-25/2-62=14，將a2n2填入對應列，M1,2=通M0,2=23=8，4M1,2=24-14=154，3M1,

7、2=23-12=72，2M1,2=22-14=34，a1=M1,2-4M1,2-3M1,2-2M1,21！11=8-154-72-34=0，a0=1-a4-a3-a2-a1=1-14-12-14-0=0∴Sn=14n4+12n3+14n2=n2+2n+14n2=[nn+1]24。例3求1×12，5×22，9×32，…，1+4n-1n2的求和公式。解：通項為三次函數(shù)，顯然總和為四次函數(shù)。列表如下，先計算四次方項系數(shù)，填入表格再計算三次方項系數(shù)，以此類推計算其它系數(shù)。序列號n總和函數(shù)一階差分(通項函數(shù))差分計算a4n4差分計算a3n3差分計算a2n2差分計算a

8、1n差分計算1S1=121M0,,1=114M0,1=113M0,