經(jīng)典數(shù)列求和公式

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1、新夢(mèng)想教育數(shù)列求和的基本方法和技巧利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法.1、等差數(shù)列求和公式：2、等比數(shù)列求和公式：3、自然數(shù)列4、自然數(shù)平方組成的數(shù)列[例1]已知，求的前n項(xiàng)和.解：由由等比數(shù)列求和公式得（利用常用公式）＝＝＝1－[例2]設(shè)Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求的最大值.解：由等差數(shù)列求和公式得，（利用常用公式）∴＝＝＝∴當(dāng)，即n＝8時(shí)，4新夢(mèng)想教育二、錯(cuò)位相減法求和這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列{an·　bn}的前n項(xiàng)和，其中{an}、{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.[例3]求和

2、：………………………①解：由題可知，{}的通項(xiàng)是等差數(shù)列{2n－1}的通項(xiàng)與等比數(shù)列{}的通項(xiàng)之積設(shè)……………………….②（設(shè)制錯(cuò)位）①－②得（錯(cuò)位相減）再利用等比數(shù)列的求和公式得：∴[例4]求數(shù)列前n項(xiàng)的和.解：由題可知，{}的通項(xiàng)是等差數(shù)列{2n}的通項(xiàng)與等比數(shù)列{}的通項(xiàng)之積設(shè)…………………………………①………………………………②（設(shè)制錯(cuò)位）①－②得（錯(cuò)位相減）∴練習(xí)：*提示：不要覺(jué)得重復(fù)和無(wú)聊，乘公比錯(cuò)位相減的關(guān)鍵就是熟練！通項(xiàng)為{an·　bn},1、an是自然數(shù)列，bn是首項(xiàng)為1，q為2的等比數(shù)列2、an是正偶數(shù)數(shù)列，bn是首項(xiàng)為1，q為2的等比數(shù)列3

3、、an是正奇數(shù)數(shù)列，bn是首項(xiàng)為1，q為2的等比數(shù)列4、an是正偶數(shù)數(shù)列，bn是首項(xiàng)為3，q為3的等比數(shù)列5、an是正奇數(shù)數(shù)列，bn是首項(xiàng)為3，q為3的等比數(shù)列6、an是自然數(shù)列，bn是首項(xiàng)為3，q為3的等比數(shù)列4新夢(mèng)想教育三、分組法求和有一類(lèi)數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類(lèi)數(shù)列適當(dāng)拆開(kāi)，可分為幾個(gè)等差、等比或常見(jiàn)的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.[例5]求數(shù)列的前n項(xiàng)和：，…解：設(shè)將其每一項(xiàng)拆開(kāi)再重新組合得（分組）當(dāng)a＝1時(shí)，＝（分組求和）當(dāng)時(shí)，＝[例6]求數(shù)列{n(n+1)(2n+1)}的前n項(xiàng)和.解：設(shè)∴＝將其每一項(xiàng)拆開(kāi)再重新組合得Sn＝

4、（分組）＝＝（分組求和）＝4新夢(mèng)想教育四、裂項(xiàng)法求和這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的.通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）如：（1）（2）====》升級(jí)分母是n(n+2)呢？---重點(diǎn)掌握這個(gè)型[例7]求數(shù)列的前n項(xiàng)和.解：設(shè)（裂項(xiàng)）則（裂項(xiàng)求和）＝＝[例8]在數(shù)列{an}中，，又，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)的和.解：　∵　∴（裂項(xiàng)）∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和（裂項(xiàng)求和）＝＝4