[理學(xué)]矩量法 method of moment課件

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1、第二章矩量法(MethodofMoment)2.1引言2.2矩量法的一般過程2.3選配和離散過程2.3.1點(diǎn)選配2.3.2脈沖分域基2.3.3三角形函數(shù)分域基2.4算子研究2.4.1近似算子2.4.2擴(kuò)展算子2.4.3微擾算子矩量法(簡稱MoM)，就其數(shù)值分析而言就是廣義Galerkin(伽略金)法。矩量法包括兩個(gè)過程，離散化過程和選配過程，從而把線性算子方程轉(zhuǎn)化為矩陣方程。這里先舉一個(gè)簡單的例子。[例1]無限薄導(dǎo)體圓盤上的電荷分布問題。試討論半徑為a的無限薄理想導(dǎo)體圓盤，在中心線距離d處有一點(diǎn)電荷，如圖5-17-1所示，求解

2、導(dǎo)體圓盤上的電荷分布。[解]假設(shè)導(dǎo)體圓盤上電荷密度為，根據(jù)電磁學(xué)的基本概念可知：(1)由外加電荷Q在導(dǎo)體圓盤上產(chǎn)生的電位Φe和導(dǎo)體圓盤本身感應(yīng)電荷密度σ所產(chǎn)生的電位Φi之和U在盤上處處相等，即保證導(dǎo)體圓盤是等位面。(2)由于本問題中是感應(yīng)電荷，因此總電荷Qi≡0，其中圖5-17-1導(dǎo)體圓盤上的電荷分布(5-17-1)(5-17-2)(5-17-3)于是，問題可寫為(5-17-4)式中r=，其中打撇的表示源點(diǎn)，不打撇的表示場點(diǎn)。這個(gè)問題，采用電磁學(xué)經(jīng)典解析方法不能很好的解決，因?yàn)槲粗刻幱诜e分內(nèi)部，是一個(gè)典型的積分方程。為此，把

3、圓盤分割成兩部分：中心小圓和外部環(huán)帶(如圖5-17-1所示)，并假定每一部分內(nèi)的電荷密度(i=1,2)近似為常數(shù)，于是(5-17-5)式中(5-17-6)稱為脈沖函數(shù)，這時(shí)問題方程(5-17-4)成為(5-17-7)(5-17-8)把問題方程(5-17-4)近似的轉(zhuǎn)化為式(5-17-7)和式(5-17-8)的過程稱為離散化過程。但是，必須注意到方程(5-17-7)中，場點(diǎn)r表示圓盤上的任意點(diǎn)(x，y)，換句話它們是不定的，因而式(5-17-7)中包含著無限個(gè)方程。另一方面，離散后的方程組(5-17-7)和方程組(5-17-8)

4、內(nèi)只有三個(gè)未知數(shù)、和，于是方程組超定。為了把超定方程組轉(zhuǎn)化為唯一解的方程組，可以采用很多辦法。矩量法中，習(xí)慣用選配過程解決這個(gè)問題。簡單說來，即在每個(gè)離散的單元上只選取一個(gè)場點(diǎn)作為代表來建立方程。例如，在[例1]中對于離散的和分別取和兩點(diǎn)做試驗(yàn)點(diǎn)，如圖5-17-2所示。具體寫出方程組(5-17-9)其中圖5-17-2圓盤上的試驗(yàn)點(diǎn)其中表示面元電荷在處產(chǎn)生場的自作用單元；表示面元電荷在處產(chǎn)生場的自作用單元；表示面元電荷在處產(chǎn)生場的互作用單元；表示面元電荷在處產(chǎn)生場的互作用單元。又有(5-17-14)經(jīng)過離散化過程和選配過程，將積

5、分方程組(近似地)轉(zhuǎn)化為矩陣方程(5-17-15)由此得出電荷分布的解為(5-17-16)圖5-17-3矩量法的一般過程圖5-17-3所示的矩量法求解問題的一般過程。[討論](1)矩量法的原問題并不限于積分方程，也可以是微分方程或其他方程。但必須能抽象成算子方程。從這一點(diǎn)而言，它是普遍的；另一方面，矩量法最終要轉(zhuǎn)化為矩陣方程加以解決。因此，原問題必須屬于線性算子范疇。例如，最速下降線所構(gòu)成的積分方程不是線性泛函，所以無法采用矩量法。(2)電磁理論中計(jì)算的矩陣單元，一般均表示某個(gè)源在一個(gè)區(qū)域所產(chǎn)生的場，而實(shí)際產(chǎn)生的場往往都隨著源

6、的距離增加而減少。換句話說，矩量法中矩陣一般是對角占優(yōu)的：自作用單元比互作用單元所起的作用要大。這一點(diǎn)在概念上十分重要。矩量法的研究對象是一般非齊次方程(5-17-17)線性算子的運(yùn)算空間稱為定義域，而組成的空間稱為值域。式(5-17-17)中是已知的激勵(lì)函數(shù)，為未知函數(shù)。令在的定義域內(nèi)展開成的組合，有(5-17-18)2.2矩量法的一般過程其中表示矩陣轉(zhuǎn)置，應(yīng)該注意到：展開函數(shù)與基函數(shù)是有區(qū)別的。一般來說，基函數(shù)是一無限展開。從完備基轉(zhuǎn)化為近似有限截?cái)嗷呀?jīng)構(gòu)成誤差了，再從有限截?cái)嗷D(zhuǎn)化為有限展開函數(shù)就很難保證能收斂于，這也

7、是矩量法的研究中需要深入研究的一個(gè)問題。這里且寫出(5-17-19)而從算子方程(5-17-17)到式(5-17-19)即構(gòu)成離散化過程。它可以是函數(shù)離散，也可以是區(qū)域離散，或兩者兼有?，F(xiàn)在規(guī)定適當(dāng)?shù)膬?nèi)積。在算子L的值域內(nèi)定義一類權(quán)函數(shù)(或檢驗(yàn)函數(shù)),作用于式(5-17-19)兩邊，且取內(nèi)積，有(5-17-20)這就是所謂的選配過程或試驗(yàn)過程，矩量法的名稱也由此而來，即把激勵(lì)矢量和分別向權(quán)空間投影，取它的矩，根據(jù)矩的大小確定展開系數(shù)。如果展開函數(shù)的數(shù)目與權(quán)函數(shù)數(shù)目相等，則可把式(5-17-20)寫成矩陣形式(5-17-21)其

8、中(5-17-22)于是可以解出(5-17-23)若規(guī)定函數(shù)矩陣(5-17-24)于是待求的函數(shù)為(5-17-25)矩量法的一般過程的數(shù)學(xué)表示如圖5-17-4所示。十分清楚，矩量法的結(jié)果優(yōu)劣取決于：①離散化程度；②和的選??；③線性方程組的求解。在=的特殊情況下，可稱為Gale