完全平方數(shù)性質(zhì)

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1、完全平方數(shù)的性質(zhì)定義：能表示為某個整數(shù)的平方的數(shù)稱為完全平方數(shù)，簡稱平方數(shù)。例如：0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,…觀察這些完全平方數(shù)，可以獲得對它們的個位數(shù)、十位數(shù)、數(shù)字和等的規(guī)律性的認識。一、平方數(shù)有以下性質(zhì)：【性質(zhì)1】完全平方數(shù)的末位數(shù)只能是0,1,4,5,6,9。【性質(zhì)2】奇數(shù)的平方的個位數(shù)字為奇數(shù)，十位數(shù)字為偶數(shù)。【性質(zhì)3】如果完全平方數(shù)的十位數(shù)字是奇數(shù)，則它的個

2、位數(shù)字一定是6；反之，如果完全平方數(shù)的個位數(shù)字是6，則它的十位數(shù)字一定是奇數(shù)。推論1：如果一個數(shù)的十位數(shù)字是奇數(shù)，而個位數(shù)字不是6，那么這個數(shù)一定不是完全平方數(shù)。推論2：如果一個完全平方數(shù)的個位數(shù)字不是6，則它的十位數(shù)字是偶數(shù)?！拘再|(zhì)4】（1）凡個位數(shù)字是5，但末兩位數(shù)字不是25的自然數(shù)不是完全平方數(shù)；（2）末尾只有奇數(shù)個“0”的自然數(shù)（不包括0本身）不是完全平方數(shù)；100，10000，1000000是完全平方數(shù)，10，1000，100000等則不是完全平方數(shù)。（3）個位數(shù)字為1，4，9而十位數(shù)

3、字為奇數(shù)的自然數(shù)不是完全平方數(shù)。需要說明的是：個位數(shù)字為1，4，9而十位數(shù)字為奇數(shù)的自然數(shù)一定不是完全平方數(shù)，如：11，31，51，74，99，211，454，879等一定不是完全平方數(shù)一定不是完全平方數(shù)。但個位數(shù)字為1，4，9而十位數(shù)字為偶數(shù)的自然數(shù)不都是完全平方數(shù)。如：21，44，89不是完全平方數(shù)，但49，64，81是完全平方數(shù)?！拘再|(zhì)5】偶數(shù)的平方是4的倍數(shù)；奇數(shù)的平方是4的倍數(shù)加1。這是因為(2k+1)^2=4k(k+1)+1(2k)^2=4k^2【性質(zhì)6】奇數(shù)的平方是8n+1型；偶數(shù)

4、的平方為8n或8n+4型。【性質(zhì)7】平方數(shù)的形式一定是下列兩種之一：3k,3k+1。【注意：具備以上條件的不一定是完全平方數(shù)（如13，21，24，28等）】【性質(zhì)8】不能被5整除的數(shù)的平方為5k±1型，能被5整除的數(shù)的平方為5k型?！拘再|(zhì)9】平方數(shù)的形式具有下列形式之一：16m,16m+1,16m+4,16m+9。除了上面關(guān)于個位數(shù)，十位數(shù)和余數(shù)的性質(zhì)之外，還可研究完全平方數(shù)各位數(shù)字之和。例如，256它的各位數(shù)字相加為2+5+6=13，13叫做256的各位數(shù)字和。如果再把13的各位數(shù)字相加：1+

5、3=4，4也可以叫做256的各位數(shù)字的和。下面我們提到的一個數(shù)的各位數(shù)字之和是指把它的各位數(shù)字相加，如果得到的數(shù)字之和不是一位數(shù)，就把所得的數(shù)字再相加，直到成為一位數(shù)為止。關(guān)于完全平方數(shù)的數(shù)字和有下面的性質(zhì)：【性質(zhì)10】完全平方數(shù)的各位數(shù)字之和只能是0,1,4,7,9。證明因為一個整數(shù)被9除只能是9k,9k±1,9k±2,9k±3,9k±4這幾種形式，而(9k)^2=9(9k^2)+0(9k±1)^2=9(9k^2±2k)+1(9k±2)^2=9(9k^2±4k)+4(9k±3)^2=9(9k^

6、2±6k)+9(9k±4)^2=9(9k^2±8k+1)+7除了以上幾條性質(zhì)以外，還有下列重要性質(zhì)：【性質(zhì)11】a^2b為完全平方數(shù)的充要條件是b為完全平方數(shù)?！拘再|(zhì)12】如果質(zhì)數(shù)p能整除a，但p^2不能整除a，則a不是完全平方數(shù)。證明由題設(shè)可知，a有質(zhì)因子p，但無因子p^2，可知a分解成標準式時，p的次方為1，而完全平方數(shù)分解成標準式時，各質(zhì)因子的次方均為偶數(shù)，可見a不是完全平方數(shù)?！拘再|(zhì)13】在兩個相鄰的整數(shù)的平方數(shù)之間的所有整數(shù)都不是完全平方數(shù)，即【性質(zhì)14】一個正整數(shù)n是完全平方數(shù)的充分

7、必要條件是n有奇數(shù)個因子(包括1和n本身)?！拘再|(zhì)15】完全平方數(shù)的約數(shù)個數(shù)是奇數(shù)個。約數(shù)的個數(shù)為奇數(shù)個的自然數(shù)是完全平方數(shù)?！拘再|(zhì)16】若質(zhì)數(shù)p整除完全平方數(shù)a，則p^2

8、a?！拘再|(zhì)17】任何四個連續(xù)整數(shù)的乘積加1，必定是一個平方數(shù)。二、重要結(jié)論（不是完全平方數(shù)的特點）1.個位數(shù)是2,3,7,8的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)；2.個位數(shù)和十位數(shù)都是奇數(shù)的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)；3.個位數(shù)是6，十位數(shù)是偶數(shù)的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)；4.形如3n+2型的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)；5.形如4n+2和4n+3

9、型的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)；6.形如5n±2型的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)；7.形如8n+2,8n+3,8n+5,8n+6,8n+7型的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)；8.數(shù)字和是2,3,5,6,8的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)三、個位數(shù)與正整數(shù)冪正整數(shù)冪的個位與其底數(shù)的個位有周期性關(guān)系?！拘再|(zhì)1】和的個位數(shù)字是諸加項個位數(shù)字之和的個位數(shù)字.【性質(zhì)2】積的個位數(shù)字是諸因數(shù)個位數(shù)字之積的個位數(shù)字.四、例題剖析【例1】有一個1000位的數(shù),它由888個1和112個0組成,這個數(shù)是否可能是一個平方數(shù)?解法一：這個100