關(guān)于函數(shù)一致連續(xù)與非一致連續(xù)的判定

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1、函數(shù)一致連續(xù)與非一致連續(xù)的判定【摘要】本文主要給出了判別函數(shù)在不同區(qū)間上一致連續(xù)和非一致連續(xù)的幾種方法,并舉例說明了所給方法的有效性.【關(guān)鍵詞】康托爾定理;一致連續(xù);非一致連續(xù);判定【中圖分類號】：【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】：【文章編號】：1引言函數(shù)一致連續(xù)性問題是數(shù)學(xué)分析課程中的一個重要理論，但教材中只給出一致連續(xù)的概念和簡單判定函數(shù)在閉區(qū)間上一致連續(xù)的定理，而在實際應(yīng)用中使用定義判定函數(shù)在某個區(qū)間上是否一致連續(xù)又極為復(fù)雜.基于此，本文將給出判定函數(shù)在不同區(qū)間上一致連續(xù)與非一致連續(xù)的幾個簡單實用的方法,并舉例說明了所給方法的有效性

2、.2關(guān)于函數(shù)一直連續(xù)與非一直連續(xù)的概念及康托爾定理定義1設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù).若,使得,當(dāng)時有成立,則稱函數(shù)在區(qū)間上一致連續(xù).定義2設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù).若,,，，當(dāng)時,有,則稱函數(shù)在區(qū)間上非一致連續(xù).若在閉區(qū)間上連續(xù)且有定義，則在閉區(qū)間上一直連續(xù)。3函數(shù)在任意區(qū)間上的一致連續(xù)性判定定理1函數(shù)在上一致連續(xù)的充要條件是在上連續(xù)且與都存在.證明充分性.構(gòu)造輔助函數(shù)顯然,在上連續(xù),所以由Cantor定理,在上一致連續(xù).所以在上一致連續(xù),即在上一致連續(xù).必要性.在內(nèi)一直連續(xù),則對，當(dāng)且6時，有成立。顯然，對端點，當(dāng)滿足，，就

3、有+，于是有，有柯西收斂準(zhǔn)則可知即存在，同理可得存在。推論1函數(shù)在上一致連續(xù)的充要條件是在上連續(xù)且存在.推論2函數(shù)在上一致連續(xù)的充要條件是在上連續(xù)且存在.定理2函數(shù)在區(qū)間I上一致連續(xù)的充要條件是：對I上任意二數(shù)列只要，就有（當(dāng)時）。證明：（必要性）因一致連續(xù)，所以任意，存在，當(dāng)時有（1）但（當(dāng)時），故對，存在當(dāng)時，從而由（1），即（當(dāng)時）。（充分性）若在I上非一致連續(xù)，則存在，任意，存在，雖然，但?？梢?，但矛盾。即在區(qū)間I上一致連續(xù)。定理3函數(shù)在上一致連續(xù)的充分條件是在上連續(xù)且存在.證明因為=存在，所以由Cauchy收斂

4、準(zhǔn)則，對于,6時,有成立.所以在上一致連續(xù).因為在上連續(xù).所以在上連續(xù),從而一致連續(xù).又因為,從而可知在上一致連續(xù).推論3函數(shù)在上一致連續(xù)的充分條件是在上連續(xù)且與都存在.推論4函數(shù)在上一致連續(xù)的充分條件是在上連續(xù)且存在.推論5函數(shù)在上一致連續(xù)的充分條件是在上連續(xù)且和都存在定理4函數(shù)在上一致連續(xù)的充分條件是在上連續(xù)且和都存在，同時均有界。證明因為在上連續(xù)，所以在上連續(xù).又由于存在，所以由定理2知在上一致連續(xù).同理由定理3可知，在上一致連續(xù).因為.從而可知在上一致連續(xù)定理5若對于定義在區(qū)間上的函數(shù)和,,,有成立,而在上一致連

5、續(xù),則在上也一致連續(xù).證明對于任給，由于在上一致連續(xù)，所以,使得對于,只要,就有成立.故對于上述，結(jié)合已知條件有=成立，從而可知在上一致連續(xù).推論6若函數(shù)在區(qū)間上滿足下述Lipschitz條件,即,,,有成立,則在上一致連續(xù).定理6設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),且滿足在上有界,則在6上一致連續(xù).證明對于任意,由Lagrange中值定理知存在,使得，又因為在上有界,所以存在,使得,即有,所以.由的任意性可知在上滿足Lipschitz條件，所以由推論5可知,在上一致連續(xù).4非一致連續(xù)的判定關(guān)于在區(qū)間I上非一致連續(xù)的判定方法，從函數(shù)的一

6、致連續(xù)的充要條件中，可以得出其中的反問題，因此主要有以下幾種：（1）非一致連續(xù)的定義（2）函數(shù)在上非一致連續(xù)的充要條件是在上連續(xù),與至少有一個不存在.（3）設(shè)函數(shù)在,(或)連續(xù),則函數(shù)在，(或)非一致連續(xù)的充要條件是,（或)不存在.（4）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，若收斂,且,則函數(shù)在區(qū)間上非一致連續(xù).證明假設(shè)函數(shù)在區(qū)間上一致連續(xù),則對于任意,存在,（不妨設(shè)）,對于任意,且當(dāng)時,成立.又因為收斂,故對上述的,必存在，當(dāng),時,有,，總存在,使且,于是有6,即,于是,,,當(dāng)時,有.即,與矛盾.所以假設(shè)不成立,從而在區(qū)間上非一致連續(xù).

7、5應(yīng)用舉例例1函數(shù)問：在上是否一致連續(xù)？解在上非一致連續(xù).顯然,在上連續(xù)，且.且收斂.但故.從而由定理8可知在上非一致連續(xù).例2證明函數(shù)在上非一致連續(xù)，但是在[0，A]上一致連續(xù)（A為任意有限正數(shù)）。證明：取于是但是，由此可知在上非一致連續(xù)；當(dāng)區(qū)間限制在[0，A]時，有，6對于任意給定的，可以去，對任意，只要，就成立，即在上一致連續(xù)。參考文獻(xiàn)[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(第三版)上冊[M].北京:高等教育出版社,2006,3.[2]華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(第三版)上冊[M].武漢:華中師范大學(xué)出版社,2006

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