大學概率與統(tǒng)計第2節(jié)概率

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1、第二節(jié)概率1研究隨機現(xiàn)象，不僅關(guān)心試驗中會出現(xiàn)哪些事件，更重要的是想知道事件出現(xiàn)的可能性大小，也就是事件的概率.概率是隨機事件發(fā)生可能性大小的度量事件發(fā)生的可能性越大，概率就越大！2現(xiàn)在，讓我們看一個的故事從死亡線上生還本來，這位犯臣抽到“生”還是“死”是一個隨機事件，且抽到“生”和“死”的可能性各占一半，也就是各有1/2概率.但由于國王一伙“機關(guān)算盡”，通過偷換試驗條件，想把這種概率只有1/2的“抽到死簽”的隨機事件，變?yōu)楦怕蕿?的必然事件，終于搬起石頭砸了自己的腳，反使犯臣得以死里逃生.3了解事件發(fā)生的可能性即概率的

2、大小，對人們的生活有什么意義呢？下面舉幾個例子.例如，了解發(fā)生意外人身事故的可能性大小,確定保險金額.4了解來商場購物的顧客人數(shù)的各種可能性大小，合理配置服務人員.5了解每年最大洪水超警戒線可能性大小，合理確定堤壩高度.6對一個隨機事件A，我們用一個數(shù)P(A)來表示A發(fā)生的可能性大小，稱之為隨機事件A的概率.那么，怎么來規(guī)定P(A)的大小呢？7定義在相同的條件下進行n次試驗,其中事件A發(fā)生的次數(shù)nA稱為頻數(shù),比值nA/n稱為頻率,記為fn(A).既然概率P(A)度量了隨機事件A發(fā)生的可能性大小，可以預料，在大量的重復試驗

3、中，若P(A)較大，則頻率也較大;反之，若P(A)較小，則頻率也較小，而且概率P(A)應與頻率有許多相似的性質(zhì).下面我們先對頻率的性質(zhì)進行一番考察.一、事件的頻率與概率8這個性質(zhì)稱為頻率的可加性.當大量重復同一試驗時，事件A發(fā)生的頻率往往呈現(xiàn)一定的穩(wěn)定性.9例1歷史上曾有人做過試驗,試圖證明拋擲勻質(zhì)硬幣時，出現(xiàn)正反面的機會均等.實驗者nnHfn(H)DeMorgan204810610.5181Buffon404020480.5069K.Pearson1200060190.5016K.Pearson24000120120.

4、500510數(shù)據(jù)引自L.Brillouin,ScienceandInformationTheory,NewYork,1956例2英文字母被使用的頻率相當穩(wěn)定.字母使用頻率的研究，對鍵盤設計、鉛字鑄造、信息編碼、密碼破譯等方面都是十分有用的.11請回答:福爾摩斯破密碼請看???福爾摩斯為什么能破譯出那份密碼?對案情的深入了解和分析；運用字母出現(xiàn)的規(guī)律.12根據(jù)上述頻率穩(wěn)定性的討論，似乎可以提出這樣的猜想，即當n足夠大時，fn(A)與P(A)應充分接近.在不少實際問題中，當概率不易求出時，人們常取實驗次數(shù)很大時事件的頻率作為

5、概率的估計值.這種用頻率估計概率的方法稱為頻率方法.事件的頻率在一定程度上能反映事件發(fā)生的概率，下面根據(jù)頻率的基本特性，給出概率的公理化定義.13二、概率的公理化定義定義如果對任意事件A，都有一個實數(shù)P(A)，滿足以下條件：(1)非負性(2)規(guī)范性(3)可列可加性則稱P(A)為事件A的概率.14三、概率的性質(zhì)由概率的三條公理，我們可以推導出概率的若干性質(zhì).下面我們給出概率的一些重要性質(zhì).性質(zhì)1證利用概率的可列可加性及規(guī)范性，有再由概率的非負性，15性質(zhì)2(有限可加性)證由可列可加性及性質(zhì)1，得16性質(zhì)3證特別地，對立事件

6、的概率有事件組，則有17性質(zhì)3證特別地，對立事件的概率有事件組，則有Ａ18性質(zhì)4證由可加性知,移項即得結(jié)論.19推論2.對任意事件A,有注若沒有條件則公式應改為性質(zhì)4證由可加性知,移項即得結(jié)論.20性質(zhì)5(加法公式)證明對任意兩個事件A,B,有由性質(zhì)4得推論：一般地，21推廣：三個事件的加法公式證明留作練習.一般地,22例3解23例4解(1)A發(fā)生但B不發(fā)生的概率為(2)B發(fā)生但A不發(fā)生的概率為(3)A與B至少有一個發(fā)生的概率為24例5解25四、古典概型假定某個試驗有有限個可能的結(jié)果假定從該試驗的條件及實施方法上去分析，

7、我們找不到任何理由認為其中某一結(jié)果例如ei比任一其他結(jié)果例如ej更有優(yōu)勢，則我們只好認為所有結(jié)果在試驗中有同等可能的出現(xiàn)機會，即1/N的出現(xiàn)機會.e1,e2,…eN,26常常把這樣的試驗結(jié)果稱為“等可能的”.試驗結(jié)果e1,e2,…，eN你認為哪個結(jié)果出現(xiàn)的可能性大？2723479108615例如，一個袋子中裝有10個大小、形狀完全相同的球.將球編號為1～10.把球攪勻，閉上眼睛，從中任取一球.因為抽取時這些球是完全平等的，我們沒有理由認為10個球中的某一個會比另一個更容易取得.也就是說，10個球中的任一個被取出的機會是相

8、等的，均為1/10.28稱這種試驗為古典概型.若隨機試驗滿足下述兩個條件：(1)它的樣本空間只有有限多個樣本點；(2)每個樣本點出現(xiàn)的可能性相同.稱此概率為古典概率.這種確定概率的方法稱為古典方法.定義(概率的古典定義)在古典概型下，若所有基本事件總數(shù)為n，而事件A包含了其中的m個(稱為有利場合數(shù))，那么事件A的