工程電磁場(chǎng)數(shù)值分析4(有限元法1)

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1、工程電磁場(chǎng)數(shù)值分析（4）（電磁場(chǎng)有限元法）華中科技大學(xué)電機(jī)與控制工程系陳德智Email:dzhchen@mail.hust.edu.cnTel:13277069433Office:Room108,電機(jī)樓2010.12第4章電磁場(chǎng)有限元法（FiniteElementMethod,FEM）有限元法可以基于變分原理導(dǎo)出，也可以基于加權(quán)余量法導(dǎo)出，本章以加權(quán)余量法作為有限元法的基礎(chǔ)，以靜電場(chǎng)問題的求解為例介紹有限元法的基本原理與實(shí)施步驟。并介紹有限元法中的一些特殊問題。第4章電磁場(chǎng)有限元法（FEM）有限元基本原理與實(shí)施步驟：1DFEM有限元基本原理與實(shí)施步驟：2DFEM有限元方程組的求解二

2、維有限元工程應(yīng)用三維有限元原理與工程應(yīng)用矢量有限元加權(quán)余量法回顧：對(duì)算子方程用作為該方程的近似解（試探解）：代入方程得余量：1.有限元法基本原理與實(shí)施步驟：一維問題在有限元法中，基函數(shù)一般用表示。采用Galerkin方案，取權(quán)函數(shù)與基函數(shù)相同。使與余量正交化：設(shè)L為線性算子，代入，得或記得代數(shù)方程組：加權(quán)余量法回顧（續(xù)）利用有限元法求解一維邊值問題：（1）單元剖分如圖5個(gè)單元，6個(gè)節(jié)點(diǎn)（2）選取基函數(shù)（3）方程離散（計(jì)算系數(shù)陣[K]和右端項(xiàng)[b]）基函數(shù)Ni只是一階可導(dǎo)的，不能嚴(yán)格滿足微分方程，稱為“弱解”。（3）方程離散第一項(xiàng)在xj處為0，在xi處的值被來(lái)自(i-1)單元的貢獻(xiàn)抵

3、消，故只剩下第二項(xiàng)。由于基函數(shù)Ni局域支撐，顯見只有不為0。使用分步積分：（3）方程離散故類似，當(dāng)j=i時(shí)右端項(xiàng)：總體方程強(qiáng)加邊界條件：u1=0,u6=0（4）求解方程思考：（1）有限元的解跟有限差分法的解有何根本不同？（2）有限元的系數(shù)陣總是對(duì)稱的嗎？x0000.20.03610.03600.40.06280.06250.60.07100.07080.80.05250.05231.000與有限差分法（FDM）相比，有限差分法是對(duì)點(diǎn)的離散，得到一系列離散點(diǎn)上的解；而有限元（FEM）是對(duì)區(qū)域的離散（單元），盡管所求的是節(jié)點(diǎn)上的自由度，但它的解在場(chǎng)域中每一個(gè)點(diǎn)上都有定義。所以，即是有限

4、元節(jié)點(diǎn)上的解是精確的，有限元的整個(gè)解仍然是近似的。好的數(shù)據(jù)處理技術(shù)可以從該近似解中提取更精確的分析結(jié)果。線性單元中，如果所求的自由度是電位j，單元中的電場(chǎng)E是場(chǎng)量；節(jié)點(diǎn)上的E取鄰近單元的平均。一些補(bǔ)充說(shuō)明：關(guān)于有限元的解計(jì)算系數(shù)陣是有限元分析的主要工作量。所涉及到的積分，如果不是解析可積的，通常要用到數(shù)值積分。其中最常用的數(shù)值積分方法是Gauss數(shù)值積分。一些補(bǔ)充說(shuō)明：高斯數(shù)值積分先將積分區(qū)間變換到[-1,1]上；按照固定的積分點(diǎn)計(jì)算若干函數(shù)值P(xi),以固定權(quán)值wi累加即可。具(2n+1)階精度。n=4x(1)=0.861136311594053d0x(2)=0.3399810

5、43584856d0w(1)=0.347854845137454d0w(2)=0.652145154862546d0n=5x(1)=0.906179845938664d0x(2)=0.538469310105683d0x(3)=0.0d0w(1)=0.236926885056189d0w(2)=0.478628670499366d0w(3)=0.568888888888889d0n=6x(1)=0.932469514203152d0x(2)=0.661209386466265d0x(3)=0.238619186083197d0w(1)=0.171324492379170d0w(2)

6、=0.360761573048139d0w(3)=0.467913934572691d0n=16x(1)=0.9894003948d0x(2)=0.9445750231d0x(3)=0.8656312024d0x(4)=0.7554044084d0x(5)=0.6178762444d0x(6)=0.4580167777d0x(7)=0.2816035508d0x(8)=0.0950125098d0w(1)=0.0271524594d0w(2)=0.0622535239d0w(3)=0.0951585117d0w(4)=0.1246289713d0w(5)=0.1495959888d

7、0w(6)=0.1691565194d0w(7)=0.1826034150d0w(8)=0.1894506105d0一些Gauss積分點(diǎn)和權(quán)值：（關(guān)于x=0對(duì)稱，只給出一半）為提高有限元分析精度，有兩種方法：其一：增加節(jié)點(diǎn)，細(xì)化網(wǎng)格——稱為h方法。其二：增加有限元的階數(shù)——稱為p方法。一些補(bǔ)充說(shuō)明：線性單元與高階單元一些補(bǔ)充說(shuō)明：二階單元一些補(bǔ)充說(shuō)明：三階單元h方法和p方法的求解精度ByJianmingJin.TheFiniteElementMethodinElect