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《離散數(shù)學(xué)(賈振華主編) 第八章 代數(shù)結(jié)構(gòu)》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、第8章代數(shù)結(jié)構(gòu)本章學(xué)習(xí)目標在計算機科學(xué)里，很多的知識和代數(shù)結(jié)構(gòu)的理論有關(guān)系，比如：加法器、糾正碼、形式語言和推理機等等，因此，學(xué)好該部分內(nèi)容，為學(xué)習(xí)其他計算機課程打下了基礎(chǔ)。通過本章學(xué)習(xí)，讀者應(yīng)該掌握以下內(nèi)容：（1）二元運算的相關(guān)概念和性質(zhì)（2）半群和獨異點的概念及其判定（3）群和子群的概念及其性質(zhì)（4）阿貝爾群和循環(huán)群的概念和性質(zhì)（5）置換群和陪集的概念相關(guān)定理（6）同態(tài)與同構(gòu)的概念及其判定第8章代數(shù)結(jié)構(gòu)8.1二元運算及其性質(zhì)8.2代數(shù)系統(tǒng)8.3半群和獨異點8.4群與子群8.5阿貝爾群和循環(huán)群8.6置換群與伯恩賽德定理8.7陪集和
2、拉格朗日定理8.8同態(tài)與同構(gòu)第8章代數(shù)結(jié)構(gòu)8.1二元運算及其性質(zhì)定義8.1對于集合A，一個從An到B的映射，稱為集合A上的一個n元運算。如果BA，則稱該n元運算是封閉的。定義8.2設(shè)*是定義在集合A上的二元運算，如果對于任意的x，y∈A，都有x*y∈A，則稱二元運算*在A上是封閉的。定義8.3設(shè)*是定義在集合A上的二元運算，如果對于任意的x，y∈A，都有x*y=y*x,則稱二元運算*在A上是可交換的。第8章代數(shù)結(jié)構(gòu)8.1二元運算及其性質(zhì)定義8.4設(shè)*是定義在集合A上的二元運算，如果對于任意的x，y，z∈A，都有（x*y）*z=x*（
3、y*z），則稱該二元運算*是可結(jié)合的。定義8.5設(shè)*、△是定義在集合A上的兩個二元運算，如果對于任意的a，b，c∈A，都有a*（b△c）=（a*b）△（a*c）（b△c）*a=（b*a）△（c*a）則稱運算*對于運算△是可分配的。第8章代數(shù)結(jié)構(gòu)8.1二元運算及其性質(zhì)定義8.6設(shè)*，#是定義在集合A上的兩個可交換二元運算，如果對于任意的a，b∈A，都有a*（a#b）=aa#（a*b）=a則稱運算*和運算#滿足吸收律。第8章代數(shù)結(jié)構(gòu)8.1二元運算及其性質(zhì)定義8.7設(shè)*是定義在集合A上的一個二元運算，如果有一個元素el∈A，對于任意的元素
4、x∈A，都有el*x=x，則稱el為A中關(guān)于運算*的左么元；如果有一個元素er∈A，對于任意的元素x∈A都有x*er=x，則稱er為A中關(guān)于運算*的右么元；如果A中的某一個元素e，它既是左么元又是右么元，則稱e為A中關(guān)于運算*的么元。顯然，對于任意元素x∈A，有el*x=x*er=x。第8章代數(shù)結(jié)構(gòu)8.1二元運算及其性質(zhì)定理8.1設(shè)*是定義在集合A上的一個二元運算，且在A中有關(guān)于運算*的左么元el和右么元er，則el=er=e，且A中的么元是唯一的。定義8.8設(shè)*是定義在集合A上的一個二元運算，如果有一個元素θl∈A，對于任意的元素
5、x∈A都有θl*x=θl，則稱θl為A中關(guān)于運算*的左零元；如果有一個元素θr∈A,對于任意的元素x∈A，都有x*θr=θr,則稱θr為A中關(guān)于運算*的右零元；如果A中的一個元素θ，它既是左零元又是右零元，則稱θ為A中關(guān)于運算*的零元。顯然，對于任一元素a∈A，有θ*a=a*θ=θ。第8章代數(shù)結(jié)構(gòu)8.1二元運算及其性質(zhì)定理8.2設(shè)*是定義在集合A上的一個二元運算，且在A中存在關(guān)于運算*的左零元和右零元。那么，左右零元相等，且A中的零元是唯一的。定理8.3設(shè)是一個代數(shù)系統(tǒng)，且集合A中元素的個數(shù)大于1。如果該代數(shù)系統(tǒng)中存在么元
6、和零元。則它們必然相等。第8章代數(shù)結(jié)構(gòu)8.1二元運算及其性質(zhì)定義8.9設(shè)代數(shù)系統(tǒng)，*是定義在集合A上的一個二元運算，且e是A中關(guān)于運算*的么元。如果對于A中的任一元素a，存在著A中的某個元素b，使得b*a=e，那么b為a的左逆元；同理，如果a*b=e成立，那么稱b為a的右逆元；如果一個元素b，它既是a的左逆元又是a的右逆元，那么就稱b是a的一個逆元。第8章代數(shù)結(jié)構(gòu)8.1二元運算及其性質(zhì)例8.10設(shè)Q是有理數(shù)集合，作笛卡爾積S=Q×Q，*是S上的二元運算。對于*=，求*運算的幺元和逆元。解
7、根據(jù)上面的運算規(guī)則*=，可以知道，運算*是由普通乘法和普通加法分別構(gòu)成序偶的兩個元素。對于任意元素，<1，0>*=<1*x，0+y>=第8章代數(shù)結(jié)構(gòu)8.1二元運算及其性質(zhì)和*<1，0>==因此，元素<1，0>為該運算的幺元。對于任意元素，當(dāng)x≠0時<1/x，-y>*=<(1/x)*x，-y+y>=<1，0>*<1/x，-y>==<1，0>故，當(dāng)x≠0時，<1/x，-y>
8、為元素的逆元，當(dāng)x=0時，任何元素和0相乘都等于0，因此，沒有逆元。第8章代數(shù)結(jié)構(gòu)8.2代數(shù)系統(tǒng)定義8.10設(shè)有一個非空集合A，有若干個定義在該集合上的k個運算f1，f2，…，fk，如果這k個運算都是封閉的，那么有集合A連同
