離散數(shù)學(xué)(賈振華主編) 第五章 函數(shù)

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1、第5章函數(shù)本章學(xué)習(xí)目標(biāo)函數(shù)是一個(gè)基本的數(shù)學(xué)概念，在通常的函數(shù)定義中，y=f（x）是在實(shí)數(shù)集合上討論，在這里函數(shù)的概念得到了推廣，把函數(shù)看成是一種特殊的關(guān)系。本章介紹了函數(shù)的基本概念、特殊類型的函數(shù)及函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算和逆運(yùn)算。通過本章學(xué)習(xí)，讀者應(yīng)該掌握以下內(nèi)容：（1）函數(shù)的基本概念（2）單射、滿射和雙射函數(shù)（3）函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算（4）函數(shù)的逆運(yùn)算第5章函數(shù)5.1函數(shù)的概念5.2復(fù)合函數(shù)與逆函數(shù)第5章函數(shù)5.1函數(shù)的概念5.1.1函數(shù)的基本概念定義5.1設(shè)X，Y是兩個(gè)集合，f是一個(gè)從X到Y(jié)的關(guān)系。如果對(duì)于每一個(gè)x?X，都有唯一的y?Y，使得?f，則稱關(guān)系f為X到Y(jié)的函數(shù)，記作f：X→Y。

2、X稱作f的定義域，Y稱作f的值域（也稱上域）。x為函數(shù)的自變量，y稱為對(duì)應(yīng)于x的函數(shù)值（或稱映像），寫作y=f（x），由所有映像組成的集合稱為函數(shù)的值域。第5章函數(shù)5.1函數(shù)的概念5.1.1函數(shù)的基本概念解f不是X到Y(jié)的函數(shù)。如對(duì)于元素2?X，有<2，4>?f，<2，5>?f，<2，6>?f，這說明X中元素2與Y中的3個(gè)元素對(duì)應(yīng)，所以f不是X到Y(jié)的函數(shù)。例5.1判別下列關(guān)系中哪個(gè)能構(gòu)成函數(shù)。（1）X={1，2，3，4}，Y={4，5，6}，當(dāng)x?X，y?Y，且x?f第5章函數(shù)5.1函數(shù)的概念5.1.1函數(shù)的基本概念（2）設(shè)N是自然數(shù)的集合，f是N到N的二元關(guān)系，對(duì)于x，

3、y?N，x+y<100。解f不是X到Y(jié)的函數(shù)。因?yàn)閤不能取定義域中的所有值，且x對(duì)應(yīng)多個(gè)y，故關(guān)系f不能構(gòu)成函數(shù)。（3）X={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，Y={0，1}，f為X到Y(jié)的關(guān)系，對(duì)于X中的元素x為偶數(shù)時(shí)，?f，否則?f。解f能構(gòu)成函數(shù)，因?yàn)閷?duì)于每一個(gè)x?X，都有唯一y?Y與它對(duì)應(yīng)。第5章函數(shù)5.1函數(shù)的概念5.1.1函數(shù)的基本概念定義5.2設(shè)函數(shù)f：X→Y，g：T→W，如果X=T，Y=W，且對(duì)于所有x?X和x?T有f（x）=g（x），則稱函數(shù)f和g相等，記作f=g。例，設(shè)X={a，b，c}，Y={0，1}，X×Y={，，

4、，，，}，X×Y有26個(gè)子集，但只有23個(gè)子集定義為從X到Y(jié)的函數(shù)。f0={，，}第5章函數(shù)5.1函數(shù)的概念5.1.1函數(shù)的基本概念f1={，，}f2={，，}f3={，，}f4={，，}f5={，，}f6={，，}f7={，，}第5章函數(shù)5.1函數(shù)的概念5.1.1函數(shù)的基本概念例5.2設(shè)X和Y都為有限集，且

5、X

6、=m，

7、Y

8、

9、=n，問X到Y(jié)可以定義多少種不同的函數(shù)？解因?yàn)閺腦到Y(jié)的每一個(gè)函數(shù)的定義域都是X，在這些函數(shù)中，每一個(gè)恰有m個(gè)序偶。另外，對(duì)于任何x?X，可以有Y中的n個(gè)元素中的任何一個(gè)作為它的像，所以共有nm個(gè)不同的函數(shù)。第5章函數(shù)5.1函數(shù)的概念5.1.2幾種特殊的函數(shù)定義5.3設(shè)函數(shù)f：X→Y，如果函數(shù)的值域?yàn)閅，即Y中的每一個(gè)元素是X中一個(gè)或多個(gè)元素的映像，則稱f為X到Y(jié)的滿射函數(shù)。設(shè)f：X→Y是滿射函數(shù)，即對(duì)于任意的y?Y，必存在x?X使得f（x）=y成立。例如：A={1，2，3，4}，B={a，b，c}，如果f：A→B為f（1）=a，f（2）=c，f（3）=b，f（4）=c，則f是滿射。第5

10、章函數(shù)5.1函數(shù)的概念5.1.2幾種特殊的函數(shù)定義5.4設(shè)函數(shù)f：X→Y，如果對(duì)于X中的任意兩個(gè)元素x1和x2,，當(dāng)x1?x2時(shí)，都有f（x1）?f（x2），則稱f為X到Y(jié)的單（入）射函數(shù)。例如：A={1，2，3}，B={a，b，c，d}，如果f：A→B為f（1）=a，f（2）=c，f（3）=b，則f是單射。第5章函數(shù)5.1函數(shù)的概念5.1.2幾種特殊的函數(shù)定義5.5設(shè)函數(shù)f：X→Y，如果f既是滿射又是單射函數(shù)，則稱這個(gè)函數(shù)為雙射函數(shù)。例如：A={1，2，3}，B={a，b，c}，如果f：A→B為f（1）=a，f（2）=c，f（3）=b，則f既是單射又是滿射，所以是雙射函數(shù)。第5章函數(shù)5.

11、1函數(shù)的概念5.1.2幾種特殊的函數(shù)例5.3判定下列函數(shù)是單射、滿射函數(shù)，還是雙射函數(shù)。（1）集合A={1，2，3，4}，B={a}，f是A到B的函數(shù)，且f（1）=a，f（2）=a，f（3）=a，f（4）=a。解f是A到B的滿射函數(shù)。（2）集合A={1，2，3}，B={a，b，c，d}，f是A到B的函數(shù)，且f（1）=a，f（2）=d，f（3）=c。解f是A到B的單射函數(shù)。第5章函數(shù)5.1函數(shù)的概念5.1.2幾種特殊的函數(shù)