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《定積分的幾何應用(II)》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在教育資源-天天文庫。
1、定積分的幾何應用一、平面圖形的面積1直角坐標系作為一般情況討論，設平面圖形由[a,b]上連續(xù)的兩條曲線y=f(x)與y=g(x)及兩條直線x=a,x=b所圍成在[a,b]上任取典型小區(qū)間[x,x+dx]與它相對應的小曲邊梯形的面積為局部量dAdA可用高為底為dx的矩形面積近似表示即故ab當dx很小時所圍成的圖形的面積解為確定圖形的存在區(qū)間由聯(lián)立方程組解得交點A（-1，1）B（1，1）故例1求兩曲線所圍圖形的面積解首先定出圖形所在的范圍解得交點為（2，-2）和（8，4）若取x為積分變量在[x,x+dx]上取部分
2、量則對于x的不同值局部量的位置不同其上、下曲邊有多種情況運用上述公式計算較為復雜如下圖例2計算以y為變量計算將會簡單在[-2,4]上任取一小區(qū)間其上相應的窄條左、右曲邊分別為但若將這一面積看作是分布在區(qū)間[-2，4]上由此可見在面積計算中應根據平面區(qū)域的具體特征恰當?shù)剡x擇積分變量找出相應的面積微元可使計算簡化上述問題的一般情況是平面區(qū)域由[c,d]上連續(xù)的曲線及直線y=c,y=d所圍成則其面積為cd當直角坐標系下的平面區(qū)域的邊界曲線由參數(shù)方程的形式給出時，只須對面積計算公式作變量代換即可。計算時應注意積分限在
3、換元中應保持與原積分限相對應。例3求橢圓的面積解由對稱性面積A等于橢圓在第一象限內的部分的面積的4倍即設f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內有證明存在唯一的使曲線f（x）與兩直線所圍圖形的面積是y=f(x)與兩直線所圍圖形面積的3倍證例4故由零點定理知又令2極坐標系某些平面圖形，用極坐標來計算是比較方便的若曲線由極坐標方程給出極坐標系下研究面積的基本圖形不是曲邊梯形而是由射線所圍成的稱為曲邊扇形的區(qū)域可用半徑為圓心角為由于曲邊扇形的面積分布故面積元素為的圓扇形的面積來近似解由對稱性知總面積=4倍第一象限
4、部分面積解利用對稱性知通過以上幾例可見在實際計算中應充分利用所求量的對稱性和等量關系來簡化計算。二、平面曲線弧長的概念①直角坐標情形弧長元素弧長解所求弧長為解曲線弧為弧長②參數(shù)方程情形解星形線的參數(shù)方程為根據對稱性第一象限部分的弧長證根據橢圓的對稱性知故原結論成立.③極坐標情形曲線弧為弧長解求心形線的全長解由對稱性例12求在直角坐標系下、參數(shù)方程形式下、極坐標系下平面圖形的面積.（注意恰當?shù)倪x擇積分變量有助于簡化積分運算）平面曲線弧長的概念弧微分的概念求弧長的公式直角坐標系下參數(shù)方程情形下極坐標系下小結思考題
5、兩邊同時對求導xyo積分得思考題1解答所以所求曲線為不一定．僅僅有曲線連續(xù)還不夠，必須保證曲線光滑才可求長．思考題2解答練習題練習題答案練習題練習題答案
