定積分第3講定積分的計(jì)算

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1、高等院校非數(shù)學(xué)類(lèi)本科數(shù)學(xué)課程——一元微積分學(xué)大學(xué)數(shù)學(xué)（一）第六章一元積分學(xué)腳本編寫(xiě)：王利平教案制作：王利平第3講定積分的計(jì)算一.定積分的換元法三.定積分的近似計(jì)算二.定積分的分部積分法由牛頓——萊布尼茲公式，可以通過(guò)不定積分來(lái)計(jì)算定積分.一般是將定積分的計(jì)算截然分成兩步：先計(jì)算相應(yīng)的不定積分，然后再運(yùn)用牛頓——萊布尼茲公式代值計(jì)算出定積分.這種作法相當(dāng)麻煩，我們希望將不定積分的計(jì)算方法與牛頓——萊布尼茲公式有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，構(gòu)成定積分自身的計(jì)算方法——定積分的換元法和定積分的分部積分法.例1解例1解有什么想法沒(méi)有？就是說(shuō)，計(jì)算定積分時(shí)可以使用換元法.換元時(shí)只要同時(shí)

2、改變積分的上、下限，就不必再返回到原來(lái)的變量，直接往下計(jì)算并運(yùn)用牛頓——萊布尼茲公式便可得到定積分的結(jié)果.一、定積分的換元法定理證證畢例2解例3解例4解例5解例6證例7證例8證例9解二、定積分的分部積分法定理證明與不定積分的情形類(lèi)似.例10解什么情況下運(yùn)用分部積分法呢？定積分與不定積分的情形相同！例11解例12證證畢例13解例14解例15解三、定積分的近似計(jì)算由于一些簡(jiǎn)單函數(shù)的原函數(shù)不一定簡(jiǎn)單，有些函數(shù)的原函數(shù)還不能用初等函數(shù)表示，此外，工程技術(shù)中的一些函數(shù)往往是由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表示的，當(dāng)對(duì)這樣的函數(shù)作定積分運(yùn)算時(shí)就十分難辦了.于是我們需要尋找定積分的近似計(jì)算方法.定

3、積分的近似計(jì)算方法大多數(shù)是依據(jù)定積分的定義和定積分的幾何意義得到：矩形法示意繼續(xù)分下去會(huì)有什么結(jié)果？每次分割后，取小區(qū)間的右端點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算行不行？1.矩形法取左端點(diǎn)取左端點(diǎn)取右端點(diǎn)以上兩個(gè)公式稱(chēng)為“矩形公式”.矩形法的誤差估計(jì)：非單調(diào)函數(shù)可以按單調(diào)性分區(qū)間來(lái)估計(jì)誤差.2.梯形法yxab3.拋物線法——Simpson公式繼續(xù)往下將推出什么樣的結(jié)果？例16解例17解10.90.80.70.60.50.40.30.20.100.862070.917430.961540.9901010.552490.609760.671140.735290.800000.50000矩形法

4、梯形法拋物線法比較三種方法計(jì)算的結(jié)果：可知在相同的區(qū)間分法下，拋物線法的計(jì)算精度最高，梯形法次之.4.利用泰勒公式作定積分的近似計(jì)算例18解