定積分與定積分的近似計(jì)算

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1、第六講定積分與定積分的近似計(jì)算實(shí)驗(yàn)?zāi)康模保ㄟ^(guò)本實(shí)驗(yàn)加深理解積分理論中分割、近似、求和、取極限的思想方法.２．學(xué)習(xí)并掌握用matlab求不定積分、定積分、二重積分、曲線積分的方法.３．學(xué)習(xí)matlab命令sum、symsum與int.4.了解定積分近似計(jì)算的矩形法、梯形法。（***）實(shí)驗(yàn)內(nèi)容1．學(xué)習(xí)matlab命令（１）求和命令sum調(diào)用格式.sum(x),給出向量x的各個(gè)元素的累加和,如果x是矩陣,則sum(x)是一個(gè)元素為x的每列列和的行向量.例4.1.x=[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10];sum(x)ans=55例4.2.x=[1,2,3;4,5,6;7,8,9]x

2、=123456789sum(x)ans=121518（２）求和命令symsum調(diào)用格式.symsum(s,n),求symsum(s,k,m,n),求當(dāng)x的元素很有規(guī)律,比如為表達(dá)式是的數(shù)列時(shí),可用symsum求得x的各項(xiàng)和,即symsum=symsum例4.3.symsknsymsum(k,1,10)ans=55symsum(k^2,k,1,n)ans=1/3*(n+1)^3-1/2*(n+1)^2+1/6*n+1/6（３）matlab積分命令int調(diào)用格式int(函數(shù))計(jì)算不定積分int(函數(shù),變量名)計(jì)算不定積分int(函數(shù))計(jì)算定積分int(函數(shù)變量名)計(jì)算定積分１．計(jì)算不定積

3、分例4.4.計(jì)算解:輸入命令:int(x^2*log(x))可得結(jié)果:ans=1/3*x^3*log(x)-1/9*x^3注意設(shè)置符號(hào)變量.例4.5.計(jì)算下列不定積分:1.2.3.解:首先建立函數(shù)向量.symsxsymsarealy=[sqrt(a^2-x^2),(x-1)/(3*x-1)^(1/3),x^2*asin(x)];然后對(duì)y積分可得對(duì)y的每個(gè)分量積分的結(jié)果.int(y,x)ans=[1/2*x*(a^2-x^2)^(1/2)+1/2*a^2*asin((1/a^2)^(1/2)*x),-1/3*(3*x-1)^(2/3)+1/15*(3*x-1)^(5/3),1/3*x^

4、3*asin(x)+1/9*x^2*(1-x^2)^(1/2)+2/9*(1-x^2)^(1/2)]３．定積分的概念.定積分是一個(gè)和的極限.取,積分區(qū)間為,等距劃分為20個(gè)子區(qū)間.x=linspace(0,1,21);選取每個(gè)子區(qū)間的端點(diǎn),并計(jì)算端點(diǎn)處的函數(shù)值.y=exp(x);取區(qū)間的左端點(diǎn)乘以區(qū)間長(zhǎng)度全部加起來(lái).y1=y(1:20);s1=sum(y1)/20s1=1.6757s1可作為的近似值.若選取右端點(diǎn):y2=y(2:21);s2=sum(y2)/20s2=1.7616s2也可以作為的近似值.下面我們畫(huà)出圖象.plot(x,y);holdonfori=1:20fill([x

5、(i),x(i+1),x(i+1),x(i),x(i)],[0,0,y(i),y(i),0],’b’)end如果選取右端點(diǎn),則可畫(huà)出圖象.fori=1:20;fill([x(i),x(i+1),x(i+1),x(i),x(i)],[0,0,y(i+1),y(i+1),0],’b’)holdonendplot(x,y,’r’)在上邊的語(yǔ)句中,for…end是循環(huán)語(yǔ)句,執(zhí)行語(yǔ)句體內(nèi)的命令20次,fill命令可以填充多邊形,在本例中,用的是蘭色(blue)填充.從圖上看,當(dāng)分點(diǎn)逐漸增多時(shí),的值越來(lái)越小,讀者可試取50個(gè)子區(qū)間看一看結(jié)果怎樣.下面按等分區(qū)間計(jì)算symskns=symsum(e

6、xp(k/n)/n,k,1,n);limit(s,n,inf)得結(jié)果ans=exp(1)-1４．計(jì)算定積分和廣義積分.例4.6.計(jì)算.解:輸入命令:int(exp(x),0,1)得結(jié)果ans=exp(1)-1.這與我們上面的運(yùn)算結(jié)果是一致的.例4.7.計(jì)算解:輸入命令:int(abs(x-1),0,2)得結(jié)果ans=1.本例用mathematica軟件不能直接求解.例4.8.判別廣義積分、與的斂散性,收斂時(shí)計(jì)算積分值.解:對(duì)第一個(gè)積分輸入命令:symspreal;int(1/x^p,x,1,inf)得結(jié)果ans=limit(-1/(p-1)*x^(-p+1)+1/(p-1),x=in

7、f).由結(jié)果看出當(dāng)時(shí),x^(-p+1)為無(wú)窮,當(dāng)時(shí),ans=1/(p-1),這與課本例題是一致的.對(duì)第二個(gè)積分輸入命令:int(1/(2*pi)^(1/2)*exp(-x^2/2),-inf,inf)得結(jié)果:ans=7186705221432913/18014398509481984*2^(1/2)*pi^(1/2)由輸出結(jié)果看出這兩個(gè)積分收斂.對(duì)后一個(gè)積分輸入命令:int(1/(1-x)^2,0,2)結(jié)果得ans=inf.說(shuō)明這個(gè)積分是無(wú)窮大不收斂.例4