定積分的近似計(jì)算2

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1、定積分的近似計(jì)算雖然牛頓——萊布尼茲公式解決了定積分的計(jì)算問題，但它的使用是有一定局限性的。對于被積分中的不能用初等函數(shù)表達(dá)的情形或其原函數(shù)雖能用初等函數(shù)表達(dá)但很復(fù)雜的情形，我們就有必要考慮近似計(jì)算的方法。定積分的近似計(jì)算的基本思想是根據(jù)定積分的幾何意義找出求曲邊梯形面積的近似方法。下面介紹兩種常用的方法梯形法及拋物線法。一梯形法將積分區(qū)間作等分，分點(diǎn)依次為相應(yīng)的函數(shù)為曲線上相應(yīng)的點(diǎn)為將曲線的每一段弧用過點(diǎn)（線性函數(shù)）來代替，這使得每個(gè)上的曲邊梯形形成了真正的梯形（圖11——25），其面積為于是各個(gè)小梯形面積之和就是曲邊梯形面積的近似值，即

2、亦即（2）稱此式為梯形法公式。在實(shí)際應(yīng)用中，我們還需要知道用這個(gè)近似值來代替所求積分時(shí)所產(chǎn)生的誤差，從而有其中二拋物線法由梯形法求近似值，當(dāng)為凹曲線時(shí)，它就偏??；當(dāng)為凸曲線時(shí)，它就偏大。如果每段改用與它凸性相接近的拋物線來近似，就可減少上述缺點(diǎn)。下面介紹拋物線法。將區(qū)間作等分（圖）分點(diǎn)依次為對應(yīng)的函數(shù)值為曲線上相應(yīng)的點(diǎn)為現(xiàn)把區(qū)間上的曲線段用通過三點(diǎn)的拋物線來近似代替，然后求函數(shù)從到的定積分：由于，將它代入上式整理后可得同樣也有………………………………………………..將這個(gè)積分相加即得原來所要計(jì)算的定積分的近似值：即這就是拋物線法公式，也就是

3、辛卜生公式。也有其中可見越大，近似計(jì)算越準(zhǔn)確。一般說來，將積分區(qū)間作同樣數(shù)目等份的情況下，拋物線形公式比梯形公式更精確一些。1、插值型求積公式：，其中余項(xiàng)，至少具有次代數(shù)精度。2、牛頓—柯特斯公式（等距節(jié)點(diǎn)）：，其中當(dāng)時(shí)，==，求積公式即為梯形公式。當(dāng)時(shí)，=，，，求積公式變?yōu)樾疗丈?Simpson)公式，即當(dāng)時(shí)，計(jì)算不穩(wěn)定，此時(shí)一般不用該公式。階的Newton-Cotes公式至少具有次的代數(shù)精度；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，至少有次代數(shù)精度。1、復(fù)化梯形公式：=，，2、復(fù)化辛普森公式：=，3、龍貝格求積公式：表示二分次后求得的梯形值，表示序列的次加速值。，

4、通過遞推公式，計(jì)算。按公式計(jì)算加速值，直到，積分值即為。4、高斯求積公式：取，對，使成立，解出及，具有次代數(shù)精度。5、高斯-勒讓德求積公式：在高斯求積公式中，取權(quán)函數(shù)，區(qū)間為，即。余項(xiàng)，勒讓德多項(xiàng)式的零點(diǎn)就是求積公式的高斯點(diǎn)。勒讓德多項(xiàng)式：，，兩點(diǎn)高斯-勒讓德求積公式的形式是：三點(diǎn)高斯-勒讓德求積公式的形式是：10、高斯-切比雪夫求積公式：，，且取權(quán)函數(shù)，即，此時(shí)高斯點(diǎn)是次切比雪夫多項(xiàng)式的零點(diǎn)，即為，，系數(shù)。使用時(shí)將個(gè)節(jié)點(diǎn)公式改為個(gè)節(jié)點(diǎn)，于是高斯-切比雪夫求積公式寫成：，余項(xiàng)，