定積分的近似計(jì)算(1)

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1、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)報(bào)告實(shí)驗(yàn)序號：4日期：2012年12月13日實(shí)驗(yàn)名稱定積分的近似計(jì)算問題背景描述：利用牛頓—萊布尼茲公式雖然可以精確地計(jì)算定積分的值，但它僅適用于被積函數(shù)的原函數(shù)能用初等函數(shù)表達(dá)出來的情形．如果這點(diǎn)辦不到或者不容易辦到，這就有必要考慮近似計(jì)算的方法．在定積分的很多應(yīng)用問題中，被積函數(shù)甚至沒有解析表達(dá)式，可能只是一條實(shí)驗(yàn)記錄曲線，或者是一組離散的采樣值，這時(shí)只能應(yīng)用近似方法去計(jì)算相應(yīng)的定積分．實(shí)驗(yàn)?zāi)康模罕緦?shí)驗(yàn)將主要研究定積分的三種近似計(jì)算算法：矩形法、梯形法、拋物線法。對于定積分的近似數(shù)值計(jì)算，Matlab有專門函數(shù)可用。實(shí)驗(yàn)原理與數(shù)

2、學(xué)模型：1．?矩形法根據(jù)定積分的定義，每一個(gè)積分和都可以看作是定積分的一個(gè)近似值，即在幾何意義上，這是用一系列小矩形面積近似小曲邊梯形的結(jié)果，所以把這個(gè)近似計(jì)算方法稱為矩形法．不過，只有當(dāng)積分區(qū)間被分割得很細(xì)時(shí)，矩形法才有一定的精確度．針對不同的取法，計(jì)算結(jié)果會有不同。（1）左點(diǎn)法：對等分區(qū)間，在區(qū)間上取左端點(diǎn)，即取。（2）右點(diǎn)法：同（1）中劃分區(qū)間，在區(qū)間上取右端點(diǎn)，即取。（3）中點(diǎn)法：同（1）中劃分區(qū)間，在區(qū)間上取中點(diǎn)，即取。2．?梯形法等分區(qū)間，相應(yīng)函數(shù)值為（）．曲線上相應(yīng)的點(diǎn)為（）將曲線的每一段弧用過點(diǎn)，的弦（線性函數(shù)）來代替，這使

3、得每個(gè)上的曲邊梯形成為真正的梯形，其面積為，．于是各個(gè)小梯形面積之和就是曲邊梯形面積的近似值，，即，稱此式為梯形公式。?3．?拋物線法將積分區(qū)間作等分，分點(diǎn)依次為，，對應(yīng)函數(shù)值為（），曲線上相應(yīng)點(diǎn)為（）．現(xiàn)把區(qū)間上的曲線段用通過三點(diǎn)，，的拋物線來近似代替，然后求函數(shù)從到的定積分：由于，代入上式整理后得同樣也有……將這個(gè)積分相加即得原來所要計(jì)算的定積分的近似值：，即這就是拋物線法公式，也稱為辛卜生（Simpson）公式．?實(shí)驗(yàn)所用軟件及版本：Matlab7.0主要內(nèi)容（要點(diǎn)）：1．?分別用梯形法與拋物線法，計(jì)算，?。L試直接使用函數(shù)trap

4、z()、quad()進(jìn)行計(jì)算求解，比較結(jié)果的差異．2．?試計(jì)算定積分．（注意：可以運(yùn)用trapz()、quad()或附錄程序求解嗎？為什么？）3．?學(xué)習(xí)fulu2sum.m的程序設(shè)計(jì)方法，嘗試用函數(shù)sum改寫附錄1和附錄3的程序，避免for循環(huán)。實(shí)驗(yàn)過程記錄（含基本步驟、主要程序清單及異常情況記錄等）：1：梯形法formatlongn=120;a=1;b=2;symsxfxfx=1/x;i=1:n;xj=a+(i-1)*(b-a)/n;%所有左點(diǎn)的數(shù)組xi=a+i*(b-a)/n;%所有右點(diǎn)的數(shù)組fxj=subs(fx,'x',xj);%所

5、有左點(diǎn)值fxi=subs(fx,'x',xi);%所有右點(diǎn)值f=(fxi+fxj)/2*(b-a)/n;%梯形面積inum=sum(f)%加和梯形面積求解integrate=int(fx,1,2);integrate=double(integrate)fprintf('Therelativeerrorbetweeninumandreal-valueisabout:%g/n/n',...abs((inum-integrate)/integrate))【調(diào)試結(jié)果】inum=0.69315152080005integrate=0.69314718

6、055995Therelativeerrorbetweeninumandreal-valueisabout:6.26164e-006/n/n拋物線法：%拋物線法formatlongn=120;a=1;b=2;inum=0;symsxfxfx=1/x;fori=1:nxj=a+(i-1)*(b-a)/n;%左點(diǎn)xi=a+i*(b-a)/n;%右點(diǎn)xk=(xi+xj)/2;%中點(diǎn)fxj=subs(fx,'x',xj);fxi=subs(fx,'x',xi);fxk=subs(fx,'x',xk);inum=inum+(fxj+4*fxk+fxi

7、)*(b-a)/(6*n);endinumintegrate=int(fx,1,2);integrate=double(integrate);fprintf('Therelativeerrorbetweeninumandreal-valueisabout:%g/n/n',...abs((inum-integrate)/integrate))【調(diào)試結(jié)果】inum=0.69314718056936Therelativeerrorbetweeninumandreal-valueisabout:1.35886e-011/n/n>>使用函數(shù)trapz

8、()x=1:1/120:2;y=1./x;trapz(x,y)【調(diào)試結(jié)果】ans=0.69315152080005使用函數(shù)quad()quad('1./x',1,2)【調(diào)試結(jié)果】